2024년 6월 모평 (고3) 수학 8번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 8번
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

8. $a_1{a}_2<0$ 인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $a_6=16,2a_8-3a_7=32$ 일 때, $a_9+a_{11}$ 의 값은? [3점] ① $-\frac{5}{2}$ ② $-\frac{3}{2}$ ③ $-\frac{1}{2}$ ④ $\frac{1}{2}$ ⑤ $\frac{3}{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 공비와 첫째항을 구하고, 주어진 조건을 만족하는 공비를 선택하여 특정 항의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 등비수열 $\{a_n\}$
- $a_1{a}_2<0$
- $a_6=16$
- $2a_8-3a_7=32$

3. 풀이의 순서

이 문제는 등비수열의 일반항과 항 사이의 관계를 이용하여 공비에 대한 이차방정식을 세우고 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 $a_1{a}_2<0$을 이용하여 공비 $r$의 부호를 결정합니다.

step2. $a_8$과 $a_7$을 $a_6$과 $r$로 표현하여 주어진 식에 대입하고, $r$에 대한 이차방정식을 풉니다.

step3. step1에서 구한 부호 조건에 맞는 공비 $r$을 선택합니다.

step4. $a_6$과 $r$을 이용하여 $a_9$와 $a_{11}$의 값을 각각 구하고 더하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 제$n$항은 $a_n=a{r}^{n-1}$이다.

- 등비수열의 항 사이의 관계: $a_m=a_n{r}^{m-n}$ ($m>n$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 등비수열의 항들은 기준이 되는 항(여기서는 $a_6$)과 공비 $r$을 이용하여 표현하면 계산이 훨씬 간단해집니다.

step1. 공비 $r$의 부호 결정

등비수열의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 합시다.

주어진 조건에서 $a_1{a}_2<0$입니다.

$a_1=a$, $a_2=ar$이므로, $a·(ar)=a^{2}r<0$이 됩니다.

$a_6=16\ne 0$이므로 $a\ne 0$이고, 따라서 $a^2>0$입니다.

그러므로 $a^{2}r<0$이 성립하려면 반드시 $r<0$이어야 합니다.

step2. 공비 $r$ 구하기

주어진 조건 $2a_8-3a_7=32$를 $a_6$과 $r$을 이용하여 표현해 봅시다.

$a_8=a_6{r}^2=16r^2$

$a_7=a_{6}r=16r$

이것을 주어진 식에 대입하면,

$2(16r^2)-3(16r)=32$

$32r^2-48r-32=0$

양변을 16으로 나누어 식을 간단히 합니다.

$2r^2-3r-2=0$

이차방정식을 인수분해하면,

$(2r+1)(r-2)=0$

따라서 $r=-\frac{1}{2}$ 또는 $r=2$입니다.

step3. 조건에 맞는 공비 선택

[함정경고] 여기서 구한 두 개의 $r$ 값 중 아무거나 선택하면 오답이 됩니다. 반드시 step1에서 확인한 부호 조건을 확인해야 합니다.

step1. 에서 $r<0$임을 확인했으므로, $r=-\frac{1}{2}$입니다.

step4. $a_9+a_{11}$ 값 계산

구하고자 하는 값은 $a_9+a_{11}$입니다. 이 역시 $a_6$과 $r$을 이용하여 계산합니다.

$a_9=a_6{r}^3=16\times {(-\frac{1}{2})}^3=16\times (-\frac{1}{8})=-2$

$a_{11}=a_6{r}^5=16\times {(-\frac{1}{2})}^5=16\times (-\frac{1}{32})=-\frac{1}{2}$

따라서 $a_9+a_{11}=-2+(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{2}$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 공비 부호

$a_1{a}_2=a^{2}r<0⟹r<0$

step2. 공비 계산

$2a_8-3a_7=32$

$2(16r^2)-3(16r)=32$   --- ($a_n=a_6{r}^{n-6}$ 이용)

$32r^2-48r-32=0$

$2r^2-3r-2=0$

$(2r+1)(r-2)=0$

step3. 공비 확정

$\therefore r=-\frac{1}{2}(\because r<0)$

step4. 정답 도출

$a_9+a_{11}=a_6{r}^3+a_6{r}^5$

$=16(-\frac{1}{8})+16(-\frac{1}{32})$

$=-2-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$

$\therefore 정답:①$

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