2024년 6월 모평 (고3) 수학 7번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 7번
문제의 분류	고등학교 (도함수의 활용 - 방정식과 부등식)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

7. $x$에 대한 방정식 $x^3-3x^2-9x+k=0$의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 모든 실수 $k$ 값의 합은? [3점] ① 13 ② 16 ③ 19 ④ 22 ⑤ 25

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차방정식의 실근의 개수가 2개가 되기 위한 조건(극댓값과 극솟값의 곱이 0이거나, 그래프가 $x$축에 접하는 조건)을 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 방정식: $x^3-3x^2-9x+k=0$
- 서로 다른 실근의 개수: 2개

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼차함수의 그래프와 $x$축의 교점의 개수를 극값을 이용하여 파악하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 방정식을 함수 $f(x)$로 두고, 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구하여 극값을 갖는 $x$의 위치를 찾습니다.

step2. 삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건(극댓값과 극솟값 중 하나가 0)을 적용합니다.

step3. 각 극값의 위치에서 함숫값을 구하고, 이를 0으로 만드는 $k$의 값을 찾습니다.

step4. 구한 모든 $k$의 값의 합을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 도함수를 이용한 극값 판정: 함수 $f(x)$가 미분가능할 때, $f^{\prime }(a)=0$이고 $x=a$의 좌우에서 $f^{\prime }(x)$의 부호가 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극값을 갖는다.

- 삼차방정식의 실근의 개수: 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 방정식 $f(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 (극댓값) $\times$ (극솟값) $=0$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면, 삼차함수의 그래프가 $x$축에 접해야 하므로 극댓값 또는 극솟값이 0이 되어야 합니다.

step1. 주어진 방정식의 좌변을 $f(x)$라 하고 도함수를 구합니다.

$f(x)=x^3-3x^2-9x+k$로 두면,

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$

$f^{\prime }(x)=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$

$f^{\prime }(x)=0$을 만족하는 $x$의 값은 $x=-1$ 또는 $x=3$입니다.

step2. 삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건을 적용합니다.

함수 $f(x)$는 $x=-1$에서 극댓값을, $x=3$에서 극솟값을 가집니다.

방정식 $f(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가지려면 그래프가 $x$축에 접해야 하므로, 극댓값 또는 극솟값이 0이어야 합니다.

step3. 극값을 구하고 $k$의 값을 찾습니다.

$x=-1$일 때 극댓값: $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2-9(-1)+k=-1-3+9+k=k+5$

$x=3$일 때 극솟값: $f(3)=3^3-3(3{)}^2-9(3)+k=27-27-27+k=k-27$

따라서 $k+5=0$ 또는 $k-27=0$이 되어야 하므로,

$k=-5$ 또는 $k=27$입니다.

[함정경고] 방정식을 $x^3-3x^2-9x=-k$로 변형하여 풀 때, 우변의 부호 $-k$를 $k$로 착각하여 부호 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다.

step4. 모든 실수 $k$ 값의 합을 계산합니다.

구한 $k$의 값은 $-5$와 $27$이므로, 이들의 합은

$-5+27=22$입니다.

따라서 정답은 ④입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 도함수 계산

$f(x)=x^3-3x^2-9x+k$

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)=0$

$x=-1,3$

step2. 극값 계산 및 조건 적용

---(서로 다른 두 실근을 가지려면 극댓값 또는 극솟값이 0이어야 하므로)

$f(-1)=-1-3+9+k=k+5=0\Rightarrow k=-5$

$f(3)=27-27-27+k=k-27=0\Rightarrow k=27$

step3. 합 계산

$-5+27=22$

$\therefore 22$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기