2024년 6월 모평 (고3) 수학 5번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 5번
문제의 분류	고등학교 (미분법)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=(x^2-1)(x^2+2x+2)$에 대하여 $f^{\prime }(1)$의 값은? [3점] ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 함수의 곱의 미분법을 이용하여 주어진 함수의 도함수를 구하고, 특정 점에서의 미분계수를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=(x^2-1)(x^2+2x+2)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 함수의 곱의 미분법을 이용하여 도함수를 구한 후, $x=1$을 대입하여 미분계수를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 곱의 미분법을 이용하여 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

step2. 구한 도함수 $f^{\prime }(x)$에 $x=1$을 대입하여 $f^{\prime }(1)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 곱의 미분법: 두 함수 $g(x)$와 $h(x)$가 미분가능할 때, 함수 $f(x)=g(x)h(x)$의 도함수는 $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)h(x)+g(x)h^{\prime }(x)$이다.

5. 구체적 풀이

step1. 곱의 미분법을 이용하여 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

주어진 함수는 $f(x)=(x^2-1)(x^2+2x+2)$입니다.

[키포인트] 두 다항식의 곱으로 이루어진 함수를 미분할 때는 전개한 후 미분해도 되지만, 곱의 미분법을 사용하면 계산을 더 빠르고 정확하게 할 수 있습니다.

곱의 미분법에 의해 $f^{\prime }(x)$는 다음과 같이 계산됩니다.

$f^{\prime }(x)=(x^2-1{)}^{\prime }(x^2+2x+2)+(x^2-1)(x^2+2x+2{)}^{\prime }$

$f^{\prime }(x)=(2x)(x^2+2x+2)+(x^2-1)(2x+2)$

step2. 구한 도함수 $f^{\prime }(x)$에 $x=1$을 대입하여 $f^{\prime }(1)$의 값을 계산합니다.

[함정경고] 도함수 $f^{\prime }(x)$를 끝까지 전개하여 정리한 후에 $x=1$을 대입하려고 하면 계산 실수가 발생할 수 있습니다. 전개하지 않은 상태에서 바로 $x=1$을 대입하는 것이 훨씬 효율적입니다.

$x=1$을 대입하면,

$f^{\prime }(1)=(2·1)(1^2+2·1+2)+(1^2-1)(2·1+2)$

$f^{\prime }(1)=2(1+2+2)+(1-1)(2+2)$

$f^{\prime }(1)=2(5)+0·4$

$f^{\prime }(1)=10+0=10$

따라서 $f^{\prime }(1)$의 값은 10입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 도함수 구하기

$f(x)=(x^2-1)(x^2+2x+2)$

$f^{\prime }(x)=(2x)(x^2+2x+2)+(x^2-1)(2x+2)$   --- (곱의 미분법 이용)

step2. 미분계수 계산

$f^{\prime }(1)=2(1+2+2)+(0)(4)$   --- ($x=1$ 대입)

$f^{\prime }(1)=2(5)+0=10$

$\therefore 10$

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