2024년 6월 모평 (고3) 수학 3번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 3번
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열의 합)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

수열 $a_n$에 대하여 ${\sum }_{k=1}^5(a_k+1)=9$이고 $a_6=4$ 일 때, ${\sum }_{k=1}^6{a}_k$의 값은? [3점] ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 시그마($\sum$)의 성질을 이용하여 수열의 합을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\sum }_{k=1}^5(a_k+1)=9$
- $a_6=4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 시그마의 기본 성질을 이용하여 식을 전개하고, 수열의 합을 분리하여 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 시그마의 성질을 이용하여 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k$의 값을 구합니다.

step2. 구하고자 하는 ${\sum }_{k=1}^6{a}_k$를 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k$와 $a_6$의 합으로 분리합니다.

step3. 앞서 구한 값과 주어진 값을 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 시그마의 덧셈 성질: ${\sum }_{k=1}^n(a_k+b_k)={\sum }_{k=1}^n{a}_k+{\sum }_{k=1}^n{b}_k$

- 시그마의 상수 성질: ${\sum }_{k=1}^{n}c=c\times n$ (단, $c$는 상수)

- 수열의 합의 분리: ${\sum }_{k=1}^n{a}_k={\sum }_{k=1}^{n-1}{a}_k+a_n$

5. 구체적 풀이

step1. 시그마의 성질을 이용하여 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k$의 값을 구합니다.

주어진 조건 ${\sum }_{k=1}^5(a_k+1)=9$에서 시그마의 덧셈 성질을 적용하면 다음과 같이 분리할 수 있습니다.

${\sum }_{k=1}^5{a}_k+{\sum }_{k=1}^{5}1=9$

여기서 ${\sum }_{k=1}^{5}1$은 1을 5번 더한 것이므로 $1\times 5=5$가 됩니다.

따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.

${\sum }_{k=1}^5{a}_k+5=9$

${\sum }_{k=1}^5{a}_k=4$

[함정경고] 여기서 ${\sum }_{k=1}^{5}1$을 단순히 1로 착각하여 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k+1=9$로 계산하는 실수를 많이 합니다. 상수를 더할 때는 반드시 항의 개수만큼 곱해주어야 합니다.

step2. 구하고자 하는 ${\sum }_{k=1}^6{a}_k$를 분리합니다.

우리가 구해야 할 값은 첫째 항부터 6번째 항까지의 합인 ${\sum }_{k=1}^6{a}_k$입니다.

이는 첫째 항부터 5번째 항까지의 합에 6번째 항을 더한 것과 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\sum }_{k=1}^6{a}_k={\sum }_{k=1}^5{a}_k+a_6$

[키포인트] 수열의 합을 구할 때, 이미 알고 있는 부분합(${\sum }_{k=1}^5{a}_k$)과 추가되는 항($a_6$)으로 분리하여 생각하는 것이 이 문제의 핵심 아이디어입니다.

step3. 값을 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

step1. 에서 구한 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k=4$와 문제에서 주어진 조건 $a_6=4$를 step2의 식에 대입합니다.

${\sum }_{k=1}^6{a}_k=4+4=8$

따라서 정답은 8이며, 보기 중 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 시그마 성질 적용

${\sum }_{k=1}^5(a_k+1)=9$

${\sum }_{k=1}^5{a}_k+5=9$   --- (상수항은 항의 개수만큼 곱함)

${\sum }_{k=1}^5{a}_k=4$

step2. & 3. 수열의 합 분리 및 계산

${\sum }_{k=1}^6{a}_k={\sum }_{k=1}^5{a}_k+a_6$

$=4+4$

$=8$

$\therefore 정답③$

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