2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 3번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 3번
문제의 분류	고등학교 (이차부등식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

3. 이차부등식 $x^2-5x+4<0$을 만족시키는 모든 $x$의 값의 범위가 $1<x<a$ 일 때, $a$의 값은? [2점] ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8

1. 문제의 요지

이 문제는 이차부등식을 인수분해하여 해를 구하고, 주어진 해의 형태와 비교하여 미지수의 값을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차부등식: $x^2-5x+4<0$
- 해의 범위: $1<x<a$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차부등식을 인수분해하여 해를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 이차부등식의 좌변을 인수분해합니다.

step2. 인수분해된 식을 이용하여 이차부등식의 해를 구합니다.

step3. 구한 해와 문제에서 주어진 해의 범위를 비교하여 $a$의 값을 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 이차부등식의 해: $(x-\alpha )(x-\beta )<0$ (단, $\alpha <\beta$)의 해는 $\alpha <x<\beta$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차부등식 $a{x}^2+bx+c<0$ ($a>0$)의 해는 좌변을 인수분해하여 $(x-\alpha )(x-\beta )<0$ 꼴로 만든 후, $\alpha <x<\beta$ (단, $\alpha <\beta$)임을 이용합니다.

step1. 주어진 이차부등식의 좌변을 인수분해합니다.

주어진 이차부등식은 $x^2-5x+4<0$입니다.

좌변을 인수분해하기 위해 곱해서 $4$, 더해서 $-5$가 되는 두 수를 찾으면 $-1$과 $-4$입니다.

따라서 부등식은 다음과 같이 인수분해됩니다.

$(x-1)(x-4)<0$

step2. 인수분해된 식을 이용하여 이차부등식의 해를 구합니다.

이차부등식 $(x-\alpha )(x-\beta )<0$ (단, $\alpha <\beta$)의 해는 $\alpha <x<\beta$입니다.

따라서 $(x-1)(x-4)<0$의 해는 다음과 같습니다.

$1<x<4$

step3. 구한 해와 문제에서 주어진 해의 범위를 비교하여 $a$의 값을 찾습니다.

문제에서 주어진 해의 범위는 $1<x<a$입니다.

우리가 구한 해 $1<x<4$와 비교하면,

$a=4$임을 알 수 있습니다.

[함정경고] 부등호의 방향을 잘못 보아 $x<1$ 또는 $x>4$로 착각하기 쉽습니다. $0$보다 작을 때는 두 근 사이의 범위가 해가 됨을 명심하세요.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 인수분해

$x^2-5x+4<0$

$(x-1)(x-4)<0$

step2. 해 구하기

$1<x<4$

step3. a값 찾기

$1<x<a$ 이므로

$a=4$

$\therefore ①$

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