2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 4번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 4번
문제의 분류	고등학교 (복소수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

두 실수 $a,b$에 대하여 $a+4+bi=b+(2-i)i$ 일 때, $a+b$의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$) [3점] ① -3 ② -1 ③ 1 ④ 3 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 미지수 $a,b$의 값을 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $a,b$는 실수
- $a+4+bi=b+(2-i)i$
- $i=\sqrt{-1}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 복소수의 상등 조건을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 등식의 우변을 전개하여 실수부분과 허수부분으로 정리합니다.

step2. 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 $a$와 $b$에 대한 연립방정식을 세웁니다.

step3. 연립방정식을 풀어 $a,b$의 값을 구하고, $a+b$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 복소수가 서로 같을 조건: 두 복소수 $A+Bi$와 $C+Di$ ($A,B,C,D$는 실수)가 같을 조건은 $A=C$이고 $B=D$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복소수가 포함된 등식에서는 양변을 각각 (실수부분) + (허수부분)$i$ 형태로 정리한 후, 실수부분끼리, 허수부분끼리 비교하는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리합니다.

우변의 식 $b+(2-i)i$를 전개하면 다음과 같습니다.

$b+2i-i^2$

이때 $i^2=-1$이므로 대입하여 정리합니다.

$b+2i-(-1)=(b+1)+2i$

step2. 복소수가 서로 같을 조건을 적용합니다.

좌변은 $a+4+bi$이고, 우변은 $(b+1)+2i$로 정리되었습니다.

즉, $(a+4)+bi=(b+1)+2i$ 입니다.

$a,b$가 실수이므로, 복소수가 서로 같을 조건에 의해 실수부분과 허수부분이 각각 같아야 합니다.

실수부분: $a+4=b+1$

허수부분: $b=2$

[함정경고] 우변을 전개할 때 $i^2=-1$을 적용하는 과정에서 부호 실수를 하기 쉬우니 주의해야 합니다. $-i^2=-(-1)=1$이 됩니다.

step3. $a$와 $b$의 값을 구하고 최종 답을 계산합니다.

허수부분을 비교하여 $b=2$임을 알 수 있습니다.

이를 실수부분의 식 $a+4=b+1$에 대입합니다.

$a+4=2+1$

$a+4=3$

$a=-1$

따라서 $a=-1,b=2$이므로 구하고자 하는 $a+b$의 값은 다음과 같습니다.

$a+b=-1+2=1$

정답은 1이므로 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 우변 전개 및 정리

$b+(2-i)i=b+2i-i^2$

$=b+2i-(-1)$

$=(b+1)+2i$

step2. 복소수 상등 조건 적용

$a+4+bi=(b+1)+2i$

$a+4=b+1$   --- (실수부분 비교)

$b=2$   --- (허수부분 비교)

step3. a, b 계산

$b=2$를 대입하면,

$a+4=3\Rightarrow a=-1$

$\therefore a+b=-1+2=1$

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