2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 7번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 7번
문제의 분류	고등학교 (지수와 로그 / 실생활 응용)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

7. 전하를 저장하는 전기적 장치를 축전기라 한다. 축전기에 저장된 전기에너지를 $U(J)$, 전기용량을 $C(F)$, 전압을 $V(V)$라 할 때, 축전기에 저장된 전기에너지는 다음과 같은 관계식이 성립한다. $U=\frac{1}{2}C{V}^2$ 두 축전기 $A$와 $B$에 대하여 축전기 $A$의 전기용량은 축전기 $B$의 전기용량의 3배이고, 축전기 $A$의 전압은 축전기 $B$의 전압의 $\frac{2}{3}$배이다. 두 축전기 $A$와 $B$에 저장된 전기에너지를 각각 $U_A$와 $U_B$라 할 때, $\frac{U_A}{U_B}$의 값은? [3점] ① $\frac{1}{3}$ ② $\frac{2}{3}$ ③ $1$ ④ $\frac{4}{3}$ ⑤ $\frac{5}{3}$

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 관계식에 조건에 맞는 변수들을 대입하여 두 값의 비율을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 관계식: $U=\frac{1}{2}C{V}^2$
- 축전기 $A$의 전기용량 $C_A$는 축전기 $B$의 전기용량 $C_B$의 3배 ($C_A=3C_B$)
- 축전기 $A$의 전압 $V_A$는 축전기 $B$의 전압 $V_B$의 $\frac{2}{3}$배 ($V_A=\frac{2}{3}{V}_B$)
- 구하고자 하는 값: $\frac{U_A}{U_B}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 주어진 관계식에 비례 조건을 대입하여 식을 정리하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 축전기 $A$와 $B$에 대한 전기에너지 식을 각각 세웁니다.

step2. 문제에서 주어진 전기용량과 전압의 비례 조건을 축전기 $A$의 식에 대입합니다.

step3. 식을 정리하여 $U_A$를 $U_B$에 대한 식으로 나타내고, 최종적으로 $\frac{U_A}{U_B}$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 대입법: 주어진 변수 간의 관계식을 다른 식에 대입하여 미지수를 줄이거나 원하는 형태의 식을 얻어내는 방법

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복잡해 보이는 과학 공식이 주어지더라도 당황하지 말고, 문제에서 주어진 변수들의 관계를 수식으로 표현한 뒤 공식에 그대로 대입하면 쉽게 풀 수 있습니다.

step1. 축전기 $A$와 $B$에 대한 전기에너지 식을 각각 세웁니다.

축전기 $A$의 전기에너지: $U_A=\frac{1}{2}{C}_A{V}_A^2$

축전기 $B$의 전기에너지: $U_B=\frac{1}{2}{C}_B{V}_B^2$

step2. 문제에서 주어진 전기용량과 전압의 비례 조건을 축전기 $A$의 식에 대입합니다.

조건에 따라 $C_A=3C_B$ 이고, $V_A=\frac{2}{3}{V}_B$ 입니다.

이를 $U_A$의 식에 대입하면 다음과 같습니다.

$U_A=\frac{1}{2}(3C_B)(\frac{2}{3}{V}_B{)}^2$

[함정경고] 전압 $V_A$를 대입할 때, 괄호를 치고 전체를 제곱해야 합니다. $\frac{2}{3}$를 제곱하지 않고 $V_B$만 제곱하는 실수를 하지 않도록 주의하세요.

step3. 식을 정리하여 $U_A$를 $U_B$에 대한 식으로 나타내고, 최종적으로 $\frac{U_A}{U_B}$의 값을 구합니다.

$U_A=\frac{1}{2}\times 3C_B\times \frac{4}{9}{V}_B^2$

상수항을 먼저 계산하면,

$3\times \frac{4}{9}=\frac{4}{3}$ 이므로,

$U_A=\frac{4}{3}\times (\frac{1}{2}{C}_B{V}_B^2)$ 이 됩니다.

여기서 $\frac{1}{2}{C}_B{V}_B^2$는 $U_B$와 같으므로,

$U_A=\frac{4}{3}{U}_B$ 로 나타낼 수 있습니다.

따라서 양변을 $U_B$로 나누면,

$\frac{U_A}{U_B}=\frac{4}{3}$ 입니다.

정답은 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 세우기

$U_A=\frac{1}{2}{C}_A{V}_A^2$

$U_B=\frac{1}{2}{C}_B{V}_B^2$

step2. 조건 대입

$C_A=3C_B,V_A=\frac{2}{3}{V}_B$ 이므로

$U_A=\frac{1}{2}(3C_B)(\frac{2}{3}{V}_B{)}^2$

step3. 식 정리 및 비율 계산

$U_A=\frac{1}{2}\times 3C_B\times \frac{4}{9}{V}_B^2$

$U_A=\frac{4}{3}\times (\frac{1}{2}{C}_B{V}_B^2)$

$U_A=\frac{4}{3}{U}_B$

$\therefore \frac{U_A}{U_B}=\frac{4}{3}$

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