2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 8번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 8번
문제의 분류	고등학교 (이차방정식의 근과 계수의 관계)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

8. 이차방정식 $x^2-3x+5=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, ${\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2-\alpha \beta$의 값은? [3점] ① 5 ② $\frac{15}{2}$ ③ 10 ④ $\frac{25}{2}$ ⑤ 15

1. 문제의 요지

이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구하고, 주어진 식을 인수분해하여 그 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차방정식: $x^2-3x+5=0$
- 두 근: $\alpha$, $\beta$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구한 뒤, 주어진 식을 변형하여 대입하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합 $\alpha +\beta$와 곱 $\alpha \beta$를 구합니다.

step2. 구하고자 하는 식 ${\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2-\alpha \beta$를 공통인수로 묶어 변형합니다.

step3. 변형된 식에 step1에서 구한 값을 대입하여 최종 결과를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$)의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, 두 근의 합은 $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$, 두 근의 곱은 $\alpha \beta =\frac{c}{a}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차방정식의 두 근이 주어지고 두 근으로 이루어진 식의 값을 구하는 문제는, 직접 근을 구하기보다 '근과 계수의 관계'를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구한 뒤 식을 변형하여 대입하는 것이 훨씬 효율적입니다.

step1. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구합니다.

주어진 이차방정식은 $x^2-3x+5=0$입니다.

이 방정식의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로, 근과 계수의 관계에 의해 다음을 알 수 있습니다.

두 근의 합: $\alpha +\beta =-\frac{-3}{1}=3$

두 근의 곱: $\alpha \beta =\frac{5}{1}=5$

step2. 구하고자 하는 식을 변형합니다.

우리가 계산해야 할 식은 ${\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2-\alpha \beta$ 입니다.

이 식의 세 항에는 모두 $\alpha \beta$가 공통으로 들어있습니다. 따라서 공통인수 $\alpha \beta$로 식을 묶어줍니다.

${\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2-\alpha \beta =\alpha \beta (\alpha +\beta -1)$

[함정경고] 공통인수로 묶을 때 마지막 항 $-\alpha \beta$에서 $-1$이 남는 것을 잊고 $\alpha \beta (\alpha +\beta )$로 잘못 적지 않도록 주의해야 합니다.

step3. 변형된 식에 값을 대입하여 계산합니다.

step2. 에서 변형한 식에 step1에서 구한 $\alpha +\beta =3$과 $\alpha \beta =5$를 대입합니다.

$\alpha \beta (\alpha +\beta -1)=5\times (3-1)$

$=5\times 2$

$=10$

따라서 구하는 값은 10이며, 정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 근과 계수의 관계

$\alpha +\beta =3$

$\alpha \beta =5$

step2. 식 변형

${\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2-\alpha \beta$

$=\alpha \beta (\alpha +\beta -1)$   --- (공통인수 $\alpha \beta$로 묶음)

step3. 대입 및 계산

$=5\times (3-1)$

$=5\times 2$

$=10$

$\therefore ③$

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