2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 11번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 11번
문제의 분류	고등학교 (이차함수와 직선의 위치 관계)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

두 양수 $m,n$에 대하여 직선 $y=mx+2$ 가 두 이차함수 $y=\frac{1}{3}{x}^2+5,y=x^2+4x+n$ 의 그래프에 동시에 접할 때, $m+n$의 값은? [3점] ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수의 그래프와 직선이 접할 조건(판별식 $D=0$)을 이용하여 미지수 $m,n$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 양수 $m,n$
- 직선 $y=mx+2$
- 이차함수 $y=\frac{1}{3}{x}^2+5$
- 이차함수 $y=x^2+4x+n$
- 직선이 두 이차함수의 그래프에 동시에 접함

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차함수와 직선이 접할 때 판별식이 0임을 이용하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 첫 번째 이차함수와 직선이 접할 조건을 이용하여 $m$의 값을 구합니다.

step2. 구한 $m$의 값을 대입하고, 두 번째 이차함수와 직선이 접할 조건을 이용하여 $n$의 값을 구합니다.

step3. $m+n$의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 판별식: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$이 중근을 가질 조건은 판별식 $D=b^2-4ac=0$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차함수의 그래프와 직선이 접한다는 것은 두 식을 연립하여 만든 이차방정식이 중근을 가진다는 의미이며, 이는 판별식 $D=0$임을 이용해 해결할 수 있습니다.

step1. 첫 번째 이차함수와 직선이 접할 조건을 이용하여 $m$의 값을 구합니다.

직선 $y=mx+2$가 이차함수 $y=\frac{1}{3}{x}^2+5$의 그래프에 접하므로, 두 식을 연립한 방정식

$\frac{1}{3}{x}^2+5=mx+2$

이 중근을 가져야 합니다.

양변에 3을 곱하여 정리하면,

$x^2+15=3mx+6$

$x^2-3mx+9=0$

이 이차방정식의 판별식을 $D_1$이라 하면, $D_1=0$이어야 하므로

$D_1=(-3m{)}^2-4·1·9=9m^2-36=0$

$9m^2=36$

$m^2=4$

문제에서 $m$은 양수라고 했으므로 $m=2$입니다.

[함정경고] $m^2=4$에서 $m=\pm 2$가 나오지만, 문제의 조건 '양수 $m$'을 놓치고 음수 값을 선택하지 않도록 주의해야 합니다.

step2. 구한 $m$의 값을 대입하고, 두 번째 이차함수와 직선이 접할 조건을 이용하여 $n$의 값을 구합니다.

$m=2$이므로 직선의 방정식은 $y=2x+2$입니다.

이 직선이 이차함수 $y=x^2+4x+n$의 그래프에도 접하므로, 두 식을 연립한 방정식

$x^2+4x+n=2x+2$

가 중근을 가져야 합니다.

식을 정리하면,

$x^2+2x+n-2=0$

이 이차방정식의 판별식을 $D_2$라 하면, $D_2=0$이어야 하므로

$D_2=2^2-4·1·(n-2)=4-4n+8=12-4n=0$

$4n=12$

$n=3$

문제에서 $n$도 양수라고 했으므로 조건에 맞습니다.

step3. $m+n$의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

$m=2,n=3$이므로

$m+n=2+3=5$입니다.

따라서 정답은 ②입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 첫 번째 이차함수와 접할 조건

$\frac{1}{3}{x}^2+5=mx+2$

$x^2-3mx+9=0$

$D_1=9m^2-36=0$   --- (판별식 $D=0$ 이용)

$m^2=4⟹m=2$   --- ($m>0$이므로)

step2. 두 번째 이차함수와 접할 조건

$x^2+4x+n=2x+2$

$x^2+2x+n-2=0$

$D_2/4=1-(n-2)=0$   --- (짝수 판별식 이용)

$3-n=0⟹n=3$

step3. 정답 도출

$\therefore m+n=2+3=5$

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