2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 10번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 10번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

$\frac{{2026}^3+1}{{2025}^2+2026}$의 값은? [3점] ① 2024 ② 2025 ③ 2026 ④ 2027 ⑤ 2028

1. 문제의 요지

이 문제는 복잡한 수의 계산을 문자로 치환하여 다항식의 인수분해 공식을 활용해 간단히 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 주어진 식: $\frac{{2026}^3+1}{{2025}^2+2026}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 반복되는 큰 수를 문자로 치환하여 다항식의 인수분해를 이용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 계산의 편의를 위해 2026을 $x$로 치환하여 주어진 식을 $x$에 대한 다항식으로 나타냅니다.

step2. 분자의 다항식을 인수분해 공식을 이용하여 인수분해합니다.

step3. 분모와 분자의 공통인수를 약분하여 식을 간단히 한 후, 다시 $x$에 원래의 수를 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 치환: 복잡한 식이나 큰 수를 간단한 문자로 바꾸어 계산을 편리하게 하는 방법입니다.

- 세제곱의 합 인수분해 공식: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복잡한 수의 계산은 반복되는 수를 문자로 치환하여 다항식의 연산으로 바꾸면 훨씬 쉽게 풀 수 있습니다.

step1. 2026을 $x$로 치환하여 식 세우기

계산을 간단히 하기 위해 $2026=x$라고 합시다.

그러면 $2025$는 $x$보다 1 작으므로 $2025=x-1$로 나타낼 수 있습니다.

이제 주어진 식을 $x$에 대한 식으로 바꾸어 봅니다.

분자: ${2026}^3+1=x^3+1$

분모: ${2025}^2+2026=(x-1{)}^2+x$

step2. 분모 전개 및 분자 인수분해

먼저 분모를 전개하여 간단히 정리해 봅시다.

$(x-1{)}^2+x=(x^2-2x+1)+x=x^2-x+1$

다음으로 분자를 인수분해 공식을 이용하여 정리합니다.

$x^3+1=x^3+1^3=(x+1)(x^2-x+1)$

[함정경고] 분모를 전개할 때 $(x-1{)}^2=x^2-2x+1$에서 $-2x$를 놓치고 $x^2+1$로 잘못 계산하지 않도록 주의해야 합니다.

step3. 식 간단히 하기 및 정답 도출

step2. 에서 구한 분자와 분모를 원래 식에 대입합니다.

$\frac{x^3+1}{(x-1{)}^2+x}=\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1}$

분자와 분모에 공통으로 있는 $(x^2-x+1)$을 약분합니다.

$=x+1$

마지막으로 $x$에 원래의 수인 2026을 대입합니다.

$2026+1=2027$

따라서 구하는 값은 2027이며, 정답은 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 치환하여 식 세우기

$2026=x$ 라 하면, $2025=x-1$

주어진 식 $=\frac{x^3+1}{(x-1{)}^2+x}$

step2. 분모 전개 및 분자 인수분해

분모 $=x^2-2x+1+x=x^2-x+1$

분자 $=(x+1)(x^2-x+1)$   --- ($a^3+b^3$ 인수분해 공식 이용)

step3. 약분 및 대입

$\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1}=x+1$

$=2026+1=2027$

$\therefore 정답:④$

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