2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 12번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 12번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 나머지정리)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

다음은 사차다항식 $P(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 를 조립제법을 이용하여 $x-2$로 나눈 몫과 나머지를 구하고, 그 몫을 다시 $x-2$로 나눈 몫과 나머지를 구하는 과정의 일부이다. $P(3)$의 값은? (단, $a,b,c,d$ 는 상수이다.) [3점] ① 13 ② 16 ③ 19 ④ 22 ⑤ 25

1. 문제의 요지

이 문제는 조립제법의 원리를 역으로 추적하여 다항식의 계수를 구하고, 완성된 다항식에 특정 값을 대입하여 식의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 사차다항식 $P(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
- $P(x)$를 $x-2$로 나눈 조립제법 과정의 일부가 그림으로 주어짐
- 첫 번째 나눗셈의 나머지는 1
- 두 번째 나눗셈의 몫의 계수들은 차례대로 1, 2, -8 이고 나머지는 5

3. 풀이의 순서

이 문제는 조립제법의 결과를 항등식으로 표현하여 식의 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조립제법 표를 해석하여 $P(x)$를 $x-2$로 나눈 몫과 나머지를 식으로 나타냅니다.

step2. 첫 번째 몫을 다시 $x-2$로 나눈 몫과 나머지를 식으로 나타냅니다.

step3. 두 식을 결합하여 $P(x)$에 대한 항등식을 세웁니다.

step4. 완성된 항등식에 $x=3$을 대입하여 $P(3)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 조립제법: 다항식을 일차식으로 나눌 때, 계수만을 이용하여 몫과 나머지를 구하는 방법입니다.

- 나머지정리 및 항등식: 다항식 $A$를 다항식 $B$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라 하면 $A=BQ+R$ 이 성립합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 조립제법의 과정을 역으로 추적하여 계수 $a,b,c,d$를 모두 구할 수도 있지만, 조립제법의 의미를 항등식으로 표현하면 훨씬 간단하게 $P(3)$의 값을 구할 수 있습니다.

step1. 조립제법 표 해석 및 첫 번째 나눗셈 식 세우기

문제의 조립제법 표에서 $P(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지가 맨 오른쪽 아래의 1임을 알 수 있습니다.

이때의 몫을 $Q_1(x)$라고 하면, 다항식의 나눗셈 관계식에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$P(x)=(x-2)Q_1(x)+1$ --- (식 1)

step2. 두 번째 나눗셈 식 세우기

조립제법 표의 두 번째 부분은 첫 번째 몫인 $Q_1(x)$를 다시 $x-2$로 나누는 과정입니다.

이때의 나머지는 5이고, 몫의 계수들은 맨 아랫줄에 있는 1, 2, -8 입니다.

따라서 두 번째 몫을 $Q_2(x)$라고 하면, $Q_2(x)=x^2+2x-8$ 이 됩니다.

이를 나눗셈 관계식으로 나타내면 다음과 같습니다.

$Q_1(x)=(x-2)Q_2(x)+5$

$Q_1(x)=(x-2)(x^2+2x-8)+5$ --- (식 2)

step3. $P(x)$에 대한 항등식 완성하기

(식 2)를 (식 1)에 대입하여 $P(x)$를 완성합니다.

$P(x)=(x-2)\{(x-2)(x^2+2x-8)+5\}+1$

[함정경고] 여기서 식을 전개하여 $a,b,c,d$를 구하려고 하면 계산이 복잡해지고 실수할 위험이 커집니다. 문제에서 요구하는 것은 $P(x)$의 전개식이 아니라 $P(3)$의 값이므로, 전개하지 않고 바로 $x=3$을 대입하는 것이 좋습니다.

step4. $P(3)$의 값 계산하기

완성된 $P(x)$ 식에 $x=3$을 대입합니다.

$P(3)=(3-2)\{(3-2)(3^2+2·3-8)+5\}+1$

$P(3)=1·\{1·(9+6-8)+5\}+1$

괄호 안을 먼저 계산하면,

$9+6-8=7$

따라서,

$P(3)=1·\{7+5\}+1$

$P(3)=12+1=13$

그러므로 $P(3)$의 값은 13입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 첫 번째 나눗셈 식

$P(x)=(x-2)Q_1(x)+1$

step2. 두 번째 나눗셈 식

$Q_1(x)=(x-2)(x^2+2x-8)+5$

step3. 항등식 완성

$P(x)=(x-2)\{(x-2)(x^2+2x-8)+5\}+1$

step4. $P(3)$ 계산

$P(3)=(3-2)\{(3-2)(3^2+2·3-8)+5\}+1$

$P(3)=1·\{1·(9+6-8)+5\}+1$

$P(3)=(7+5)+1$

$P(3)=13$

$\therefore 13$

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