2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 14번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 14번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산, 곱셈공식의 활용)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 모든 모서리의 길이의 합이 $16\sqrt{2}$, 부피가 $4\sqrt{2}$, $\overline{AG}=2\sqrt{3}$ 인 직육면체 ABCD-EFGH가 있다. 사각형 ABCD의 넓이를 $S_1$, 사각형 BFGC의 넓이를 $S_2$, 사각형 ABFE의 넓이를 $S_3$이라 할 때, $S_1^2+S_2^2+S_3^2$의 값은? [4점] ① 28 ② 30 ③ 32 ④ 34 ⑤ 36

1. 문제의 요지

이 문제는 직육면체의 모서리, 부피, 대각선 길이를 문자로 두고, 곱셈공식을 활용하여 주어진 식의 값을 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 모든 모서리의 길이의 합 = $16\sqrt{2}$
- 부피 = $4\sqrt{2}$
- 대각선 $\overline{AG}$의 길이 = $2\sqrt{3}$
- 사각형 ABCD의 넓이 = $S_1$
- 사각형 BFGC의 넓이 = $S_2$
- 사각형 ABFE의 넓이 = $S_3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 직육면체의 세 모서리의 길이를 미지수로 두고, 곱셈공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 직육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 $a,b,c$로 두고 주어진 조건을 수식으로 나타냅니다.

step2. 곱셈공식을 이용하여 $ab+bc+ca$의 값을 구합니다.

step3. 구하고자 하는 식 $S_1^2+S_2^2+S_3^2$을 $a,b,c$로 나타내고, 곱셈공식의 변형을 이용하여 최종 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 직육면체의 성질: 가로 $a$, 세로 $b$, 높이 $c$일 때, 모든 모서리의 길이의 합은 $4(a+b+c)$, 부피는 $abc$, 대각선의 길이는 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$이다.

- 곱셈공식의 변형: $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

- 곱셈공식의 변형: $(ab+bc+ca{)}^2=a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+2abc(a+b+c)$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 직육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 $a,b,c$로 두고, 주어진 조건들을 $a,b,c$에 대한 식으로 나타낸 후 곱셈공식을 활용하는 것이 핵심입니다.

step1. 직육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 $a,b,c$라 하고 주어진 조건을 수식으로 나타냅니다.

- 모든 모서리의 길이의 합이 $16\sqrt{2}$이므로, $4(a+b+c)=16\sqrt{2}$ 입니다. 양변을 4로 나누면 $a+b+c=4\sqrt{2}$ 가 됩니다.

- 부피가 $4\sqrt{2}$이므로, $abc=4\sqrt{2}$ 입니다.

- 대각선 $\overline{AG}$의 길이가 $2\sqrt{3}$이므로, $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2\sqrt{3}$ 입니다. 양변을 제곱하면 $a^2+b^2+c^2=12$ 가 됩니다.

step2. 곱셈공식을 이용하여 $ab+bc+ca$의 값을 구합니다.

곱셈공식 $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ 에 위에서 구한 값들을 대입합니다.

$(4\sqrt{2}{)}^2=12+2(ab+bc+ca)$

$32=12+2(ab+bc+ca)$

$20=2(ab+bc+ca)$

따라서 $ab+bc+ca=10$ 입니다.

step3. 구하고자 하는 식 $S_1^2+S_2^2+S_3^2$을 $a,b,c$로 나타내고, 곱셈공식의 변형을 이용하여 최종 값을 계산합니다.

직육면체의 세 면의 넓이 $S_1,S_2,S_3$은 각각 $ab,bc,ca$ 입니다. (순서는 상관없습니다.)

따라서 우리가 구해야 할 값은 $S_1^2+S_2^2+S_3^2=(ab{)}^2+(bc{)}^2+(ca{)}^2=a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2$ 입니다.

[함정경고] $a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2$ 를 구할 때, $(ab+bc+ca{)}^2$ 의 전개식을 정확히 알고 있어야 합니다. $2abc(a+b+c)$ 항을 빼먹지 않도록 주의하세요.

곱셈공식의 변형에 의해,

$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2=(ab+bc+ca{)}^2-2abc(a+b+c)$ 가 성립합니다.

여기에 앞서 구한 값들을 대입합니다.

$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2={10}^2-2\times (4\sqrt{2})\times (4\sqrt{2})$

$=100-2\times 32$

$=100-64$

$=36$

따라서 $S_1^2+S_2^2+S_3^2$의 값은 36입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 수식화

가로 $a$, 세로 $b$, 높이 $c$

$4(a+b+c)=16\sqrt{2}⟹a+b+c=4\sqrt{2}$

$abc=4\sqrt{2}$

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2\sqrt{3}⟹a^2+b^2+c^2=12$

step2. $ab+bc+ca$ 계산

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$(4\sqrt{2}{)}^2=12+2(ab+bc+ca)$

$32=12+2(ab+bc+ca)⟹ab+bc+ca=10$

step3. 식의 값 계산

$S_1=ab,S_2=bc,S_3=ca$

$S_1^2+S_2^2+S_3^2=a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2$

$=(ab+bc+ca{)}^2-2abc(a+b+c)$   --- (곱셈공식 변형)

$={10}^2-2(4\sqrt{2})(4\sqrt{2})$

$=100-64=36$

$\therefore 36$

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