2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 17번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 17번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 나눗셈과 나머지정리)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

17. 최고차항의 계수가 1인 삼차다항식 $P(x)$를 $x^2-1$로 나눈 몫과 나머지는 서로 같다. $(x+1)P(x)$가 $x^2-1$로 나누어떨어질 때, $P(4)$의 값은? [4점] ① 48 ② 52 ③ 56 ④ 60 ⑤ 64

1. 문제의 요지

이 문제는 다항식의 나눗셈에 대한 항등식을 세우고, 주어진 조건을 이용하여 미정계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- P(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차다항식
- P(x)를 x²-1로 나눈 몫과 나머지는 서로 같음
- (x+1)P(x)는 x²-1로 나누어떨어짐

3. 풀이의 순서

이 문제는 다항식의 나눗셈 관계식을 세우고 나머지정리를 활용하여 미지수를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $P(x)$를 $x^2-1$로 나눈 몫과 나머지를 미지수를 사용하여 나타냅니다.

step2. 몫과 나머지가 같다는 조건을 이용하여 $P(x)$의 식을 세웁니다.

step3. $(x+1)P(x)$가 $x^2-1$로 나누어떨어진다는 조건을 이용하여 미지수의 값을 구합니다.

step4. 완성된 $P(x)$ 식에 $x=4$를 대입하여 $P(4)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항식의 나눗셈 항등식: 다항식 $A$를 다항식 $B$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라 하면 $A=BQ+R$이 성립한다. (단, $R$의 차수는 $B$의 차수보다 작다.)

- 인수정리: 다항식 $f(x)$가 일차식 $x-a$로 나누어떨어지면 $f(a)=0$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 나눗셈에서 몫과 나머지의 차수를 파악하고, 항등식을 세우는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. $P(x)$는 최고차항의 계수가 1인 삼차다항식입니다. $P(x)$를 이차식인 $x^2-1$로 나누면 몫은 일차식이 되어야 합니다. 최고차항의 계수가 1이므로 몫을 $x+a$ ($a$는 상수)라고 둘 수 있습니다.

step2. 문제에서 몫과 나머지가 서로 같다고 했으므로, 나머지도 $x+a$가 됩니다.

다항식의 나눗셈 항등식에 의해 $P(x)$를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$P(x)=(x^2-1)(x+a)+(x+a)$

이 식을 공통인수 $(x+a)$로 묶어서 정리하면,

$P(x)=(x^2-1+1)(x+a)=x^2(x+a)$ 가 됩니다.

step3. 다음으로 $(x+1)P(x)$가 $x^2-1$로 나누어떨어진다는 조건을 이용합니다.

$x^2-1=(x-1)(x+1)$이므로, $(x+1)P(x)$는 $(x-1)$과 $(x+1)$을 인수로 가져야 합니다.

인수정리에 의해 $(x+1)P(x)$에 $x=1$을 대입하면 그 값이 0이 되어야 합니다.

$x=1$을 대입하면: $(1+1)P(1)=2P(1)=0$

따라서 $P(1)=0$이어야 합니다.

[함정경고] $(x+1)P(x)$가 $x^2-1$로 나누어떨어진다고 해서 $P(x)$ 자체가 $x^2-1$로 나누어떨어지는 것은 아닙니다. 식 전체에 $x=1$과 $x=-1$을 대입하여 조건을 확인해야 합니다.

앞서 구한 $P(x)=x^2(x+a)$에 $x=1$을 대입하면,

$P(1)=1^2(1+a)=1+a=0$

그러므로 $a=-1$입니다.

step4. $a$의 값을 대입하여 $P(x)$를 완성하면,

$P(x)=x^2(x-1)$ 입니다.

구하고자 하는 값은 $P(4)$이므로 $x=4$를 대입합니다.

$P(4)=4^2(4-1)=16\times 3=48$

따라서 정답은 48입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 몫과 나머지 설정

$P(x)$는 최고차항 계수가 1인 3차식

$x^2-1$로 나눈 몫을 $x+a$라 하면, 나머지도 $x+a$

step2. $P(x)$ 식 세우기

$P(x)=(x^2-1)(x+a)+(x+a)$

$P(x)=(x^2-1+1)(x+a)=x^2(x+a)$

step3. 미지수 $a$ 구하기

$(x+1)P(x)$가 $x^2-1=(x-1)(x+1)$로 나누어떨어짐

---(인수정리에 의해 $x=1$ 대입 시 0)

$2P(1)=0\Rightarrow P(1)=0$

$P(1)=1^2(1+a)=1+a=0\Rightarrow a=-1$

step4. $P(4)$ 계산

$P(x)=x^2(x-1)$

$P(4)=4^2(4-1)=16\times 3=48$

$\therefore 48$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기