2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 18번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 18번
문제의 분류	고등학교 (연립부등식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

18. $x$에 대한 연립부등식 $\{\begin{array}{c}|ax-1|<21\hfill \\ 2x+3>5\hfill \end{array}$ 를 만족시키는 자연수 $x$의 개수가 2일 때, 모든 정수 $a$의 값의 합은? [4점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 절댓값을 포함한 부등식과 일차부등식으로 이루어진 연립부등식의 해를 구하고, 조건을 만족하는 정수 $a$의 범위를 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 연립부등식: $|ax-1|<21$, $2x+3>5$
- 만족시키는 자연수 $x$의 개수가 2개
- $a$는 정수

3. 풀이의 순서

이 문제는 연립부등식의 해를 구하고, 조건을 만족하는 정수 $a$의 범위를 경우를 나누어 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 번째 부등식을 풀어 $x$의 범위를 구하고, 조건을 만족하는 자연수 $x$가 무엇인지 특정합니다.

step2. 첫 번째 부등식을 풀고, $a$의 부호에 따라 경우를 나누어 $x$의 범위를 구합니다.

step3. 각 경우에 대해 조건을 만족하는 정수 $a$의 값을 구하고, 모든 $a$의 값의 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 절댓값 부등식의 성질: $|X|<k$ ($k>0$) 이면 $-k<X<k$ 이다.

- 부등식의 성질: 부등식의 양변을 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.

5. 구체적 풀이

step1. 두 번째 부등식을 풀어 $x$의 범위를 구하고, 조건을 만족하는 자연수 $x$가 무엇인지 특정합니다.

두 번째 부등식 $2x+3>5$를 풀면 $2x>2$, 즉 $x>1$입니다.

연립부등식을 만족시키는 자연수 $x$가 2개라고 했으므로, $x>1$인 자연수 중 가장 작은 두 개인 $x=2$와 $x=3$만이 연립부등식의 해가 되어야 합니다.

step2. 첫 번째 부등식을 풀고, $a$의 부호에 따라 경우를 나누어 $x$의 범위를 구합니다.

첫 번째 부등식 $|ax-1|<21$을 풀면 $-21<ax-1<21$이고, 각 변에 1을 더하면 $-20<ax<22$가 됩니다.

[키포인트] $a$의 부호에 따라 부등호의 방향이 달라지므로, $a>0$, $a<0$, $a=0$인 경우로 나누어 생각해야 합니다.

(1) $a=0$일 때:

부등식은 $-20<0<22$가 되어 모든 실수 $x$에 대해 성립합니다. 이 경우 $x>1$인 모든 자연수가 해가 되므로 조건(자연수 2개)을 만족하지 않습니다.

(2) $a>0$일 때:

양변을 $a$로 나누면 $-\frac{20}{a}<x<\frac{22}{a}$가 됩니다.

$x>1$과 연립하면 $1<x<\frac{22}{a}$가 됩니다. (이때 $-\frac{20}{a}<1$은 $a>0$이므로 항상 성립합니다.)

이 범위에 속하는 자연수가 2, 3뿐이어야 하므로, 상한인 $\frac{22}{a}$는 3보다 크고 4보다 작거나 같아야 합니다.

즉, $3<\frac{22}{a}\le 4$입니다.

$3<\frac{22}{a}$ 에서 $3a<22$, 즉 $a<\frac{22}{3}=7.33\dots$ 입니다.

$\frac{22}{a}\le 4$ 에서 $4a\ge 22$, 즉 $a\ge \frac{22}{4}=5.5$ 입니다.

따라서 $5.5\le a<7.33\dots$ 이고, 이를 만족하는 정수 $a$는 6, 7입니다.

(3) $a<0$일 때:

양변을 $a$로 나누면 부등호 방향이 바뀌어 $\frac{22}{a}<x<-\frac{20}{a}$가 됩니다.

$x>1$과 연립하면 $1<x<-\frac{20}{a}$가 됩니다. (이때 $\frac{22}{a}<1$은 $a<0$이므로 항상 성립합니다.)

이 범위에 속하는 자연수가 2, 3뿐이어야 하므로, 상한인 $-\frac{20}{a}$는 3보다 크고 4보다 작거나 같아야 합니다.

즉, $3<-\frac{20}{a}\le 4$입니다.

$3<-\frac{20}{a}$ 에서 $-3a<20$, 즉 $a>-\frac{20}{3}=-6.66\dots$ 입니다.

$-\frac{20}{a}\le 4$ 에서 $-4a\ge 20$, 즉 $a\le -5$ 입니다.

따라서 $-6.66\dots <a\le -5$ 이고, 이를 만족하는 정수 $a$는 -6, -5입니다.

[함정경고] $a$로 나눌 때 $a$가 음수이면 부등호의 방향이 바뀐다는 사실을 놓치기 쉽습니다. 또한, 상한의 범위 설정 시 등호가 어디에 들어가야 하는지($\le 4$) 주의해야 합니다.

step3. 각 경우에 대해 조건을 만족하는 정수 $a$의 값을 구하고, 모든 $a$의 값의 합을 계산합니다.

조건을 만족하는 모든 정수 $a$는 6, 7, -6, -5입니다.

이들의 합은 $6+7+(-6)+(-5)=2$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. $x$의 범위 및 자연수 특정

$2x+3>5⟹x>1$

자연수 $x$가 2개이므로 $x=2,3$

step2. 첫 번째 부등식 풀이 및 $a$의 범위

$|ax-1|<21⟹-20<ax<22$

(i) $a>0$일 때

$-\frac{20}{a}<x<\frac{22}{a}$

$x>1$과 연립하면 $1<x<\frac{22}{a}$

$3<\frac{22}{a}\le 4$

$5.5\le a<7.33\dots$

정수 $a=6,7$

(ii) $a<0$일 때

$\frac{22}{a}<x<-\frac{20}{a}$

$x>1$과 연립하면 $1<x<-\frac{20}{a}$

$3<-\frac{20}{a}\le 4$

$-6.66\dots <a\le -5$

정수 $a=-6,-5$

step3. 정답 도출

모든 정수 $a$의 합 = $6+7-6-5=2$

$\therefore 정답:②$

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