2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 21번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 21번
문제의 분류	고등학교 (이차함수와 방정식)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

실수 $k$와 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x)+x=k$가 서로 다른 두 자연수 $\alpha$, $\beta$를 근으로 가질 때, 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(\beta )=\beta$ (나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge \beta$이다. $f(0)\le \alpha +\beta +f(\alpha )$일 때, 모든 $f(6)$의 값의 곱은?

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수의 식을 설정하고 주어진 조건을 만족하는 미지수의 범위를 구하여 가능한 함수를 모두 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$인 이차함수 $f(x)$
- 방정식 $f(x)+x=k$의 두 근은 서로 다른 자연수 $\alpha$, $\beta$
- (가) $f(\beta )=\beta$
- (나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge \beta$
- $f(0)\le \alpha +\beta +f(\alpha )$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계 및 이차함수의 최솟값 조건을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 방정식 $f(x)+x=k$의 두 근이 $\alpha ,\beta$임을 이용하여 $f(x)$의 식을 세웁니다.

step2. 조건 (가)를 이용하여 $k$를 $\beta$로 나타냅니다.

step3. 조건 (나)를 이용하여 $\alpha$와 $\beta$의 관계식을 구합니다.

step4. 부등식 조건을 이용하여 자연수 $\alpha$의 값을 구합니다.

step5. 가능한 $f(x)$를 모두 구하고 $f(6)$의 값들의 곱을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 작성: 두 근이 $\alpha ,\beta$이고 최고차항의 계수가 $a$인 이차방정식은 $a(x-\alpha )(x-\beta )=0$으로 나타낼 수 있습니다.

- 이차부등식이 항상 성립할 조건: 이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$ ($a>0$)의 그래프가 항상 $x$축보다 크거나 같으려면 판별식 $D\le 0$이어야 합니다.

5. 구체적 풀이

step1. 방정식 $f(x)+x=k$의 두 근이 $\alpha ,\beta$임을 이용하여 $f(x)$의 식을 세웁니다.

방정식 $f(x)+x-k=0$의 두 근이 $\alpha ,\beta$이고, $f(x)$의 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$이므로 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.

$f(x)+x-k=\frac{1}{2}(x-\alpha )(x-\beta )$

따라서 $f(x)=\frac{1}{2}(x-\alpha )(x-\beta )-x+k$입니다.

step2. 조건 (가)를 이용하여 $k$를 $\beta$로 나타냅니다.

조건 (가)에서 $f(\beta )=\beta$이므로 위 식에 $x=\beta$를 대입합니다.

$f(\beta )=\frac{1}{2}(\beta -\alpha )(\beta -\beta )-\beta +k=\beta$

$-\beta +k=\beta$이므로 $k=2\beta$입니다.

따라서 $f(x)=\frac{1}{2}(x-\alpha )(x-\beta )-x+2\beta$입니다.

step3. 조건 (나)를 이용하여 $\alpha$와 $\beta$의 관계식을 구합니다.

조건 (나)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge \beta$입니다.

$f(x)-\beta =\frac{1}{2}(x-\alpha )(x-\beta )-x+\beta \ge 0$

양변에 2를 곱하여 정리하면,

$(x-\alpha )(x-\beta )-2x+2\beta \ge 0$

$x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta -2x+2\beta \ge 0$

$x^2-(\alpha +\beta +2)x+\alpha \beta +2\beta \ge 0$

이 이차부등식이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하려면 판별식 $D\le 0$이어야 합니다.

$D=(\alpha +\beta +2{)}^2-4(\alpha \beta +2\beta )\le 0$

전개하여 정리하면,

${\alpha }^2+{\beta }^2+4+2\alpha \beta +4\alpha +4\beta -4\alpha \beta -8\beta \le 0$

${\alpha }^2-2\alpha \beta +{\beta }^2+4\alpha -4\beta +4\le 0$

$(\alpha -\beta {)}^2+4(\alpha -\beta )+4\le 0$

$(\alpha -\beta +2{)}^2\le 0$

실수의 제곱은 항상 0 이상이므로, $(\alpha -\beta +2{)}^2=0$이어야 합니다.

따라서 $\alpha -\beta +2=0$이므로 $\beta =\alpha +2$입니다.

[키포인트] 판별식을 정리하여 완전제곱식 형태로 만드는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step4. 부등식 조건을 이용하여 자연수 $\alpha$의 값을 구합니다.

$\beta =\alpha +2$를 $f(x)$에 대입하면,

$f(x)=\frac{1}{2}(x-\alpha )(x-\alpha -2)-x+2\alpha +4$입니다.

주어진 부등식 $f(0)\le \alpha +\beta +f(\alpha )$에 대입할 값들을 구합니다.

$f(0)=\frac{1}{2}(-\alpha )(-\alpha -2)+2\alpha +4=\frac{1}{2}({\alpha }^2+2\alpha )+2\alpha +4=\frac{1}{2}{\alpha }^2+3\alpha +4$

$f(\alpha )=\frac{1}{2}(\alpha -\alpha )(\alpha -\alpha -2)-\alpha +2\alpha +4=\alpha +4$

부등식에 대입하면,

$\frac{1}{2}{\alpha }^2+3\alpha +4\le \alpha +(\alpha +2)+(\alpha +4)$

$\frac{1}{2}{\alpha }^2+3\alpha +4\le 3\alpha +6$

$\frac{1}{2}{\alpha }^2\le 2$

${\alpha }^2\le 4$

$\alpha$는 자연수이므로 $\alpha =1$ 또는 $\alpha =2$입니다.

[함정경고] $\alpha$가 자연수라는 조건을 놓치면 불필요한 범위를 고려하게 될 수 있습니다.

step5. 가능한 $f(x)$를 모두 구하고 $f(6)$의 값들의 곱을 계산합니다.

경우 1: $\alpha =1$일 때, $\beta =3$입니다.

$f(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x-3)-x+6$

$f(6)=\frac{1}{2}(5)(3)-6+6=\frac{15}{2}$

경우 2: $\alpha =2$일 때, $\beta =4$입니다.

$f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-4)-x+8$

$f(6)=\frac{1}{2}(4)(2)-6+8=4-6+8=6$

따라서 모든 $f(6)$의 값의 곱은 $\frac{15}{2}\times 6=45$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. $f(x)$ 식 세우기

$f(x)+x-k=\frac{1}{2}(x-\alpha )(x-\beta )$

$f(x)=\frac{1}{2}(x-\alpha )(x-\beta )-x+k$

step2. $k$ 구하기

$f(\beta )=-\beta +k=\beta$   --- (조건 (가) 대입)

$k=2\beta$

$f(x)=\frac{1}{2}(x-\alpha )(x-\beta )-x+2\beta$

step3. $\alpha ,\beta$ 관계식

$f(x)-\beta =\frac{1}{2}(x^2-(\alpha +\beta +2)x+\alpha \beta +2\beta )\ge 0$   --- (조건 (나) 적용)

$D=(\alpha +\beta +2{)}^2-4(\alpha \beta +2\beta )\le 0$

$(\alpha -\beta +2{)}^2\le 0$

$\beta =\alpha +2$

step4. $\alpha$ 구하기

$f(x)=\frac{1}{2}(x-\alpha )(x-\alpha -2)-x+2\alpha +4$

$f(0)=\frac{1}{2}{\alpha }^2+3\alpha +4$

$f(\alpha )=\alpha +4$

$\frac{1}{2}{\alpha }^2+3\alpha +4\le \alpha +(\alpha +2)+(\alpha +4)=3\alpha +6$

${\alpha }^2\le 4$

$\alpha =1,2$   --- ($\alpha$는 자연수)

step5. $f(6)$ 계산

$\alpha =1,\beta =3⟹f(6)=\frac{1}{2}(5)(3)-6+6=\frac{15}{2}$

$\alpha =2,\beta =4⟹f(6)=\frac{1}{2}(4)(2)-6+8=6$

\therefore 정답: $\frac{15}{2}\times 6=45$

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