2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 24번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 24번
문제의 분류	중학교 (다항식의 곱셈공식과 인수분해)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

24. $k-\frac{3}{k}=6$ 일 때, $k^3-\frac{27}{k^3}$ 의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 곱셈공식의 변형을 이용하여 주어진 식의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $k-\frac{3}{k}=6$

3. 풀이의 순서

이 문제는 곱셈공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 구하고자 하는 식을 세제곱의 차 형태로 변형합니다.

step2. 곱셈공식의 변형을 적용하여 주어진 조건의 식으로 나타냅니다.

step3. 주어진 값을 대입하여 최종 결과를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 곱셈공식의 변형: $a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$

5. 구체적 풀이

이 문제는 [키포인트] 곱셈공식의 변형을 이용하여 주어진 식을 우리가 알고 있는 값으로 표현하는 것이 핵심입니다.

step1. 구하고자 하는 식을 세제곱의 차 형태로 변형합니다.

구하고자 하는 식은 $k^3-\frac{27}{k^3}$ 입니다.

이 식은 $k^3-{\left(\frac{3}{k}\right)}^3$ 으로 나타낼 수 있습니다.

step2. 곱셈공식의 변형을 적용하여 주어진 조건의 식으로 나타냅니다.

곱셈공식의 변형 $a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$ 를 이용합니다.

여기서 $a=k$, $b=\frac{3}{k}$ 라고 생각하면,

$k^3-{\left(\frac{3}{k}\right)}^3={(k-\frac{3}{k})}^3+3·k·\frac{3}{k}·(k-\frac{3}{k})$

$={(k-\frac{3}{k})}^3+9(k-\frac{3}{k})$ 가 됩니다.

[함정경고] 여기서 $3ab$ 부분을 계산할 때, $3·k·\frac{3}{k}=9$ 가 되는 것을 놓치고 단순히 $3$ 으로 계산하기 쉬우니 주의해야 합니다.

step3. 주어진 값을 대입하여 최종 결과를 계산합니다.

문제에서 $k-\frac{3}{k}=6$ 이라고 주어졌으므로, 이 값을 위 식에 대입합니다.

$6^3+9·6$

$=216+54$

$=270$

따라서 구하는 값은 270입니다.

[정답] 270

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 변형

$k^3-\frac{27}{k^3}=k^3-{\left(\frac{3}{k}\right)}^3$

step2. 곱셈공식 변형 적용

$={(k-\frac{3}{k})}^3+3·k·\frac{3}{k}·(k-\frac{3}{k})$   --- (곱셈공식 변형 이용)

$={(k-\frac{3}{k})}^3+9(k-\frac{3}{k})$

step3. 값 대입 및 계산

$=6^3+9·6$   --- ($k-\frac{3}{k}=6$ 대입)

$=216+54$

$=270$

$\therefore 270$

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