2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 23번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 23번
문제의 분류	고등학교 (고차방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

사차방정식 $x^4-2x^3-x^2+2x=0$ 의 모든 양의 실근의 합을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 인수분해를 이용하여 사차방정식의 해를 구하고, 그 중 양의 실근만을 골라 합을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 사차방정식: $x^4-2x^3-x^2+2x=0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 공통인수로 묶기와 조립제법 또는 항 묶기를 통한 인수분해 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 사차방정식의 좌변을 공통인수 $x$로 묶어냅니다.

step2. 괄호 안의 삼차식을 두 항씩 묶어 공통인수를 찾아 인수분해합니다.

step3. 합차 공식을 이용하여 끝까지 인수분해한 후, 방정식의 모든 실근을 구합니다.

step4. 구한 실근 중 양수인 것만 골라 그 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 인수분해 (공통인수): 다항식의 각 항에 공통으로 들어 있는 인수를 묶어내는 방법입니다.

- 인수분해 (합차 공식): $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ 형태의 다항식을 인수분해하는 공식입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 고차방정식을 푸는 가장 기본적이고 중요한 방법은 인수분해입니다. 공통인수가 보인다면 가장 먼저 묶어내는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 주어진 사차방정식 $x^4-2x^3-x^2+2x=0$의 좌변을 보면 모든 항에 $x$가 포함되어 있습니다. 따라서 공통인수 $x$로 묶어냅니다.

$x(x^3-2x^2-x+2)=0$

step2. 괄호 안의 삼차식 $x^3-2x^2-x+2$를 인수분해합니다. 항이 4개이므로 두 개씩 짝을 지어 공통인수를 찾아봅니다.

앞의 두 항 $x^3-2x^2$을 $x^2$으로 묶고, 뒤의 두 항 $-x+2$를 $-1$로 묶으면,

$x^2(x-2)-(x-2)$ 가 됩니다.

여기서 공통인수 $(x-2)$가 생겼으므로 다시 묶어냅니다.

$(x^2-1)(x-2)$

step3. 이제 전체 식은 $x(x^2-1)(x-2)=0$이 되었습니다.

여기서 $x^2-1$은 합차 공식 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$를 이용하여 $(x-1)(x+1)$로 더 인수분해할 수 있습니다.

따라서 최종적으로 인수분해된 형태는 다음과 같습니다.

$x(x-1)(x+1)(x-2)=0$

이 방정식이 $0$이 되려면 각 인수가 $0$이 되어야 하므로, 실근은 $x=0,1,-1,2$ 입니다.

step4. 문제에서 요구하는 것은 '모든 양의 실근의 합'입니다.

[함정경고] 구한 모든 근을 무작정 더하면 안 됩니다. 문제에서 '양의 실근'이라는 조건을 주었으므로, $0$이나 음수는 제외해야 합니다.

구한 근 중 양의 실근은 $x=1$과 $x=2$입니다.

따라서 모든 양의 실근의 합은 $1+2=3$입니다.

[정답] 3

⚡ 실전용 풀이

step1. 공통인수 묶기

$x(x^3-2x^2-x+2)=0$

step2. 삼차식 인수분해

$x\{x^2(x-2)-(x-2)\}=0$

$x(x^2-1)(x-2)=0$

step3. 합차 공식 적용 및 근 구하기

$x(x-1)(x+1)(x-2)=0$

$x=0,1,-1,2$

step4. 양의 실근의 합

양의 실근은 $x=1,2$ 이므로

$1+2=3$

$\therefore 3$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기