2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 26번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 26번
문제의 분류	고등학교 (이차부등식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

26. $x$에 대한 부등식 $2x+1\le 2x+a\le x^2-2x+24$ 의 해가 모든 실수가 되도록 하는 $a$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, $a$는 실수이다.) [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 연립부등식이 모든 실수에 대해 성립할 조건을 구하는 문제입니다. 두 개의 부등식으로 나누어 각각이 모든 실수에 대해 성립할 조건을 찾아야 합니다.

2. 주어진 조건

- 부등식: $2x+1\le 2x+a\le x^2-2x+24$
- 위 부등식의 해가 모든 실수이다.
- $a$는 실수이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 연립부등식을 두 개의 부등식으로 분리하여 각각이 모든 실수에 대해 성립할 조건을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 연립부등식을 두 개의 부등식으로 나눕니다.

step2. 첫 번째 부등식이 모든 실수에 대해 성립할 $a$의 조건을 구합니다.

step3. 두 번째 부등식이 모든 실수에 대해 성립할 $a$의 조건을 판별식을 이용하여 구합니다.

step4. 두 조건을 동시에 만족하는 $a$의 범위를 구하고, 최댓값과 최솟값의 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차부등식이 항상 성립할 조건: 이차부등식 $a{x}^2+bx+c\ge 0$ ($a>0$)이 모든 실수 $x$에 대하여 성립할 조건은 판별식 $D=b^2-4ac\le 0$이다.

5. 구체적 풀이

주어진 연립부등식 $2x+1\le 2x+a\le x^2-2x+24$는 다음 두 부등식을 동시에 만족해야 합니다.

(1) $2x+1\le 2x+a$

(2) $2x+a\le x^2-2x+24$

[키포인트] 연립부등식이 모든 실수에 대해 성립하려면, 분리된 각각의 부등식이 모두 모든 실수에 대해 성립해야 합니다.

step1. 첫 번째 부등식 풀이

부등식 (1)에서 양변의 $2x$를 빼면 다음과 같이 정리됩니다.

$1\le a$

이 부등식은 $x$의 값에 관계없이 성립해야 하므로, $a\ge 1$이어야 합니다.

step2. 두 번째 부등식 풀이

부등식 (2)를 우변으로 이항하여 정리하면 다음과 같습니다.

$x^2-4x+24-a\ge 0$

이 이차부등식이 모든 실수 $x$에 대하여 항상 성립해야 합니다.

[함정경고] 이차부등식이 항상 0보다 크거나 같을 조건은 판별식이 0보다 작거나 같아야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다. 그래프가 $x$축과 만나지 않거나 접해야 하므로 $D\le 0$입니다.

이차방정식 $x^2-4x+24-a=0$의 판별식을 $D$라고 할 때, 짝수 공식($D/4$)을 사용하면:

$D/4=(-2{)}^2-1·(24-a)\le 0$

$4-24+a\le 0$

$a-20\le 0$

따라서 $a\le 20$입니다.

step3. $a$의 범위 및 최댓값, 최솟값 계산

step1. 과 step2에서 구한 조건을 동시에 만족해야 하므로 $a$의 범위는 다음과 같습니다.

$1\le a\le 20$

따라서 $a$의 최댓값은 20이고, 최솟값은 1입니다.

문제에서 요구하는 최댓값과 최솟값의 합은 $20+1=21$입니다.

[정답] 21

⚡ 실전용 풀이

step1. 부등식 분리 및 첫 번째 조건

$2x+1\le 2x+a\le x^2-2x+24$

$2x+1\le 2x+a$   --- (양변 $2x$ 소거)

$1\le a$

step2. 두 번째 조건

$2x+a\le x^2-2x+24$

$x^2-4x+24-a\ge 0$   --- (모든 실수에 대해 성립해야 하므로 $D\le 0$ 이용)

$D/4=4-(24-a)\le 0$

$a-20\le 0$

$a\le 20$

step3. 공통 범위 및 정답

$1\le a\le 20$

최댓값 = 20, 최솟값 = 1

$\therefore 20+1=21$

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