2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 22번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 22번
문제의 분류	고등학교 (항등식과 나머지정리)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

등식 $x^2+(a+1)x+8=x^2+10x+b$ 가 모든 실수 $x$에 대하여 항상 성립할 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수이다.) [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 모든 실수 $x$에 대하여 항상 성립하는 등식(항등식)의 성질을 이용하여 미정계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 등식 $x^2+(a+1)x+8=x^2+10x+b$ 가 모든 실수 $x$에 대하여 항상 성립
- $a$, $b$는 상수

3. 풀이의 순서

이 문제는 항등식의 성질 중 계수비교법을 이용하여 미정계수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 등식이 항등식임을 파악합니다.

step2. 양변의 동류항의 계수를 비교하여 $a$와 $b$의 값을 각각 구합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 항등식의 성질 (계수비교법): 다항식으로 이루어진 등식이 항등식이면 양변의 동류항의 계수는 각각 같다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] '모든 실수 $x$에 대하여 항상 성립하는 등식'은 $x$에 대한 항등식입니다. 항등식은 양변의 모양이 완전히 똑같아야 하므로, 동류항의 계수를 비교하여 미지수를 찾을 수 있습니다.

step1. 주어진 등식이 항등식임을 파악합니다.

문제에서 등식 $x^2+(a+1)x+8=x^2+10x+b$가 '모든 실수 $x$에 대하여 항상 성립'한다고 했으므로, 이 등식은 $x$에 대한 항등식입니다.

step2. 양변의 동류항의 계수를 비교하여 $a$와 $b$의 값을 각각 구합니다.

항등식의 성질에 따라 양변의 동류항의 계수가 서로 같아야 합니다.

- $x^2$의 계수: 좌변은 $1$, 우변은 $1$로 이미 같습니다.

- $x$의 계수: 좌변은 $a+1$, 우변은 $10$입니다. 따라서 $a+1=10$이 되어야 하므로, $a=9$입니다.

- 상수항: 좌변은 $8$, 우변은 $b$입니다. 따라서 $b=8$입니다.

[함정경고] $a$의 값을 구할 때, $x$의 계수가 $a$가 아니라 $a+1$임에 주의해야 합니다. $a=10$으로 착각하기 쉽습니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

$a=9$, $b=8$이므로,

$a+b=9+8=17$입니다.

[정답] 17

⚡ 실전용 풀이

step1. 항등식 파악

$x^2+(a+1)x+8=x^2+10x+b$

---(모든 실수 $x$에 대해 성립하므로 항등식)

step2. 계수 비교

$a+1=10\Rightarrow a=9$

$8=b\Rightarrow b=8$

step3. 정답 도출

$a+b=9+8=17$

$\therefore 17$

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