2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 16번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 16번
문제의 분류	고등학교 (이차함수와 이차방정식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

두 실수 $a(a>2)$, $b$에 대하여 이차함수 $y=x^2-(a+1)x+a$의 그래프와 직선 $y=bx-b$가 한 점 $A(1,0)$에서만 만난다. 함수 $y=x^2-(a+1)x+a$의 그래프가 $x$축과 만나는 점 중 $A$가 아닌 점을 $B$, 함수 $y=x^2-(a+1)x+a$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 $C$, 직선 $y=bx-b$가 $y$축과 만나는 점을 $D$라 하자. 다음은 삼각형 $OAD$의 넓이를 $S_1$, 사각형 $ABCD$의 넓이를 $S_2$라 할 때, $S_1:S_2=2:7$이 되도록 하는 $a$의 값을 구하는 과정이다. (단, $O$는 원점이다.) 이차함수 $y=x^2-(a+1)x+a$의 그래프가 직선 $y=bx-b$와 한 점 $A$에서만 만나므로 이차방정식 $x^2-(a+b+1)x+a+b=0$의 판별식 $D=0$이다. 삼각형 $OAD$의 넓이 $S_1$과 사각형 $ABCD$의 넓이를 $S_2$를 $a$에 대한 식으로 나타내면 $S_1=$ (가) , $S_2=$ (나) 이다. 따라서 $S_1:S_2=2:7$이 되도록 하는 $a$의 값은 $a=$ (다) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(a)$, $g(a)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $f(5)+g(5)+p$의 값은? ① $\frac{27}{2}$ ② $\frac{29}{2}$ ③ $\frac{31}{2}$ ④ $\frac{33}{2}$ ⑤ $\frac{35}{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수와 직선이 접할 조건(판별식)을 이용하여 미지수 간의 관계를 찾고, 좌표평면 위에서 도형의 넓이를 구하여 주어진 비례식을 푸는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $a>2$
- 이차함수 $y=x^2-(a+1)x+a$와 직선 $y=bx-b$가 점 $A(1,0)$에서만 만남
- $B$: 이차함수의 $x$절편 중 $A$가 아닌 점
- $C$: 이차함수의 $y$절편
- $D$: 직선의 $y$절편
- $S_1=△OAD$, $S_2=◻ABCD$
- $S_1:S_2=2:7$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차함수와 직선의 위치 관계를 판별식으로 해석하고, 좌표평면에서 다각형의 넓이를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차함수와 직선이 접할 조건을 이용하여 $b$를 $a$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 점 $A,B,C,D$의 좌표를 $a$에 대한 식으로 구합니다.

step3. 삼각형 $OAD$의 넓이 $S_1$과 사각형 $ABCD$의 넓이 $S_2$를 $a$에 대한 식으로 나타냅니다.

step4. 주어진 넓이의 비를 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

step5. 구한 식과 값을 이용하여 최종 정답을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 판별식: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$이 중근을 가질 조건은 $D=b^2-4ac=0$입니다.

- 다각형의 넓이: 좌표평면에서 다각형의 넓이는 전체 큰 도형에서 작은 도형의 넓이를 빼는 방식으로 구할 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차함수와 직선이 한 점에서 만난다는 조건은 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식이 0임을 의미합니다.

step1. 이차함수 $y=x^2-(a+1)x+a$와 직선 $y=bx-b$가 한 점 $A(1,0)$에서만 만나므로, 두 식을 연립한 이차방정식은 중근을 가져야 합니다.

$x^2-(a+1)x+a=bx-b$

$x^2-(a+b+1)x+a+b=0$

이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면, $D=0$이어야 합니다.

$D=(a+b+1{)}^2-4(a+b)=0$

$(a+b-1{)}^2=0$

따라서 $a+b=1$ 이고, $b=1-a$ 입니다.

step2. 각 점의 좌표를 구합니다.

이차함수 $y=x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)$ 이므로 $x$축과 만나는 점은 $(1,0)$과 $(a,0)$ 입니다.

문제에서 $A(1,0)$ 이라 했으므로, $B(a,0)$ 입니다.

이차함수의 $y$절편 $C$는 $x=0$일 때 $y=a$ 이므로 $C(0,a)$ 입니다.

직선 $y=bx-b$의 $y$절편 $D$는 $x=0$일 때 $y=-b$ 이므로 $D(0,-b)$ 입니다.

$b=1-a$ 이므로 $D(0,a-1)$ 입니다.

step3. 넓이 $S_1,S_2$를 구합니다.

$S_1$은 직각삼각형 $OAD$의 넓이입니다. 밑변 $OA=1$, 높이 $OD=a-1$ ($a>2$이므로 $a-1>0$) 이므로

$S_1=\frac{1}{2}\times 1\times (a-1)=\frac{a-1}{2}$ 입니다.

따라서 (가) $f(a)=\frac{a-1}{2}$ 입니다.

[함정경고] 사각형 $ABCD$의 넓이를 직접 구하려고 하면 복잡해질 수 있습니다. 큰 직각삼각형 $OBC$에서 작은 직각삼각형 $OAD$를 빼는 방식으로 접근하는 것이 훨씬 효율적입니다.

$S_2$는 사각형 $ABCD$의 넓이입니다. 그림에서 사각형 $ABCD$의 넓이는 직각삼각형 $OBC$의 넓이에서 직각삼각형 $OAD$의 넓이를 뺀 것과 같습니다.

삼각형 $OBC$의 넓이는 $\frac{1}{2}\times OB\times OC=\frac{1}{2}\times a\times a=\frac{a^2}{2}$ 입니다.

따라서 $S_2=△OBC-△OAD=\frac{a^2}{2}-\frac{a-1}{2}=\frac{a^2-a+1}{2}$ 입니다.

그러므로 (나) $g(a)=\frac{a^2-a+1}{2}$ 입니다.

step4. $a$의 값을 구합니다.

$S_1:S_2=2:7$ 이므로 $\frac{a-1}{2}:\frac{a^2-a+1}{2}=2:7$ 입니다.

내항의 곱과 외항의 곱이 같으므로

$2\times \frac{a^2-a+1}{2}=7\times \frac{a-1}{2}$

$a^2-a+1=\frac{7a-7}{2}$

$2a^2-2a+2=7a-7$

$2a^2-9a+9=0$

$(2a-3)(a-3)=0$

$a=\frac{3}{2}$ 또는 $a=3$ 입니다.

조건에서 $a>2$ 이므로 $a=3$ 입니다. 따라서 (다) $p=3$ 입니다.

step5. 최종 값을 계산합니다.

$f(5)=\frac{5-1}{2}=2$

$g(5)=\frac{5^2-5+1}{2}=\frac{21}{2}$

$p=3$

$f(5)+g(5)+p=2+\frac{21}{2}+3=5+\frac{21}{2}=\frac{31}{2}$ 입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 판별식

$x^2-(a+1)x+a=bx-b$

$x^2-(a+b+1)x+a+b=0$

$D=(a+b+1{)}^2-4(a+b)=0$

$(a+b-1{)}^2=0\Rightarrow b=1-a$

step2. 좌표 구하기

$y=(x-1)(x-a)$ 이므로 $A(1,0),B(a,0)$

$y$절편: $C(0,a),D(0,-b)=D(0,a-1)$

step3. 넓이 계산

$S_1=\frac{1}{2}·1·(a-1)=\frac{a-1}{2}=f(a)$

$S_2=△OBC-△OAD=\frac{1}{2}·a·a-S_1=\frac{a^2-a+1}{2}=g(a)$

step4. a 구하기

$S_1:S_2=2:7$

$7(a-1)=2(a^2-a+1)$

$2a^2-9a+9=0\Rightarrow (2a-3)(a-3)=0$

$a>2$ 이므로 $a=3=p$

step5. 최종 계산

$f(5)=2,g(5)=\frac{21}{2},p=3$

$f(5)+g(5)+p=2+\frac{21}{2}+3=\frac{31}{2}$

$\therefore ③$

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