2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 5번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 5번
문제의 분류	고등학교 (이차방정식의 판별식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

5. $x$에 대한 이차방정식 $x^2-4\sqrt{3}x+a=0$이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 $a$의 개수는? [3점] ① 7 ② 9 ③ 11 ④ 13 ⑤ 15

1. 문제의 요지

이 문제는 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건(판별식 $D>0$)을 이용하여 미지수 $a$의 범위를 구하고, 그 범위 안의 자연수 개수를 세는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차방정식: $x^2-4\sqrt{3}x+a=0$
- 조건: 서로 다른 두 실근을 가짐
- 구하는 것: 자연수 $a$의 개수

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차방정식의 판별식을 이용하여 미지수의 범위를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건을 판별식으로 나타냅니다.

step2. 판별식 부등식을 풀어 $a$의 범위를 구합니다.

step3. 구한 범위에 속하는 자연수 $a$의 개수를 셉니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 판별식: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 판별식 $D=b^2-4ac$일 때, $D>0$이면 서로 다른 두 실근을 갖는다. 특히 $b$가 짝수($b=2b^{\prime }$)일 때는 $\frac{D}{4}=(b^{\prime }{)}^2-ac>0$을 이용할 수 있다.

5. 구체적 풀이

이차방정식 $x^2-4\sqrt{3}x+a=0$이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식이 0보다 커야 합니다.

[키포인트] 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 판별식 $D>0$입니다. 일차항의 계수가 짝수일 때는 계산을 간단히 하기 위해 짝수 판별식 $\frac{D}{4}>0$을 사용하는 것이 좋습니다.

step1. 주어진 이차방정식에서 일차항의 계수가 $-4\sqrt{3}$으로 짝수 형태이므로, 짝수 판별식 $\frac{D}{4}$를 사용합니다.

$\frac{D}{4}=(-2\sqrt{3}{)}^2-1·a$

step2. 식을 정리하여 $a$의 범위를 구합니다.

$(-2\sqrt{3}{)}^2-a=12-a$

서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 $12-a>0$이어야 합니다.

따라서 $a<12$가 됩니다.

step3. 문제에서 $a$는 자연수라고 했습니다.

[함정경고] $a<12$라고 해서 12를 포함하여 12개로 착각하기 쉽습니다. 부등호에 등호가 없으므로 12는 포함되지 않으며, 자연수는 1부터 시작한다는 점을 잊지 마세요.

$a<12$를 만족하는 자연수 $a$는 $1,2,3,\dots ,11$입니다.

따라서 조건을 만족하는 자연수 $a$의 개수는 11개입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 판별식 적용

$\frac{D}{4}=(-2\sqrt{3}{)}^2-a>0$   --- (서로 다른 두 실근 조건)

step2. 부등식 풀이

$12-a>0$

$a<12$

step3. 자연수 개수

$a=1,2,\dots ,11$

$\therefore 11$

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