2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 1번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 1번
문제의 분류	고등학교 (지수법칙)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

1. $(2^{\sqrt{2}+1}{)}^{-1}\times 2^{\sqrt{2}}$ 의 값은? [2점] ① $\frac{1}{4}$ ② $\frac{1}{2}$ ③ $1$ ④ $2$ ⑤ $4$

1. 문제의 요지

이 문제는 실수 지수에 대한 지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 계산할 식: $(2^{\sqrt{2}+1}{)}^{-1}\times 2^{\sqrt{2}}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수법칙을 차례대로 적용하여 식을 간단히 하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 거듭제곱의 거듭제곱에 대한 지수법칙을 적용하여 첫 번째 항을 정리합니다.

step2. 밑이 같은 두 거듭제곱의 곱셈에 대한 지수법칙을 적용하여 지수를 더합니다.

step3. 음수 지수를 분수 형태로 변환하여 최종 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙 (거듭제곱): $(a^m{)}^n=a^{mn}$ (단, $a>0$, $m,n$은 실수)

- 지수법칙 (곱셈): $a^m\times a^n=a^{m+n}$ (단, $a>0$, $m,n$은 실수)

- 음수 지수의 정의: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (단, $a\ne 0$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 밑이 2로 같으므로, 지수법칙을 이용하여 지수끼리의 덧셈과 곱셈으로 식을 간단히 할 수 있습니다.

step1. 먼저 $(2^{\sqrt{2}+1}{)}^{-1}$ 부분을 정리합니다.

지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 을 이용하면, 지수끼리 곱할 수 있습니다.

$(2^{\sqrt{2}+1}{)}^{-1}=2^{(\sqrt{2}+1)\times (-1)}=2^{-\sqrt{2}-1}$

step2. 이제 원래 식에 대입하여 밑이 같은 두 수의 곱셈을 계산합니다.

주어진 식은 $2^{-\sqrt{2}-1}\times 2^{\sqrt{2}}$ 가 됩니다.

지수법칙 $a^m\times a^n=a^{m+n}$ 을 이용하면, 밑이 같을 때 곱셈은 지수끼리의 덧셈이 됩니다.

$2^{-\sqrt{2}-1}\times 2^{\sqrt{2}}=2^{(-\sqrt{2}-1)+\sqrt{2}}$

step3. 지수를 계산하고 최종 값을 구합니다.

지수를 계산하면 $-\sqrt{2}-1+\sqrt{2}=-1$ 이 됩니다.

따라서 식은 $2^{-1}$ 이 됩니다.

[함정경고] $2^{-1}$을 $-2$로 착각하기 쉽습니다. 음수 지수는 역수를 의미하므로 주의해야 합니다.

음수 지수의 정의 $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ 에 의해,

$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$ 입니다.

따라서 정답은 $\frac{1}{2}$ 이며, 이는 선지 ②번입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 지수법칙 적용

$(2^{\sqrt{2}+1}{)}^{-1}=2^{-\sqrt{2}-1}$

step2. 밑이 같은 거듭제곱의 곱

$2^{-\sqrt{2}-1}\times 2^{\sqrt{2}}=2^{(-\sqrt{2}-1)+\sqrt{2}}$

step3. 지수 계산 및 정답 도출

$=2^{-1}$

$=\frac{1}{2}$

$\therefore 정답②$

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