2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 2번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 2번
문제의 분류	고등학교 (로그의 성질)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

2. ${\log }_5\frac{25}{2}+{\log }_{5}10$의 값은? [2점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 덧셈 성질을 이용하여 식을 간단히 하고, 로그의 정의를 통해 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\log }_5\frac{25}{2}+{\log }_{5}10$

3. 풀이의 순서

이 문제는 밑이 같은 로그의 덧셈 성질을 이용하여 진수끼리 곱하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그의 덧셈 성질을 이용하여 두 로그를 하나의 로그로 합칩니다.

step2. 진수 부분의 곱셈을 계산합니다.

step3. 계산된 진수를 밑의 거듭제곱 형태로 나타내어 로그의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 덧셈 성질: $a>0,a\ne 1,M>0,N>0$일 때, ${\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_a(MN)$

- 로그의 거듭제곱 성질: $a>0,a\ne 1,M>0$일 때, ${\log }_a{M}^k=k{\log }_{a}M$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 밑이 같은 두 로그의 합은 진수끼리의 곱으로 합칠 수 있습니다.

step1. 주어진 식은 밑이 5로 같은 두 로그의 합입니다. 로그의 덧셈 성질을 이용하여 하나의 로그로 합칩니다.

${\log }_5\frac{25}{2}+{\log }_{5}10={\log }_5(\frac{25}{2}\times 10)$

step2. 진수 부분의 곱셈을 계산합니다.

$\frac{25}{2}\times 10=25\times 5=125$

따라서 식은 ${\log }_{5}125$가 됩니다.

step3. 125를 밑인 5의 거듭제곱으로 나타냅니다.

$125=5^3$이므로,

${\log }_{5}125={\log }_5(5^3)$

로그의 성질에 따라 지수 3은 로그 앞으로 나올 수 있고, ${\log }_{5}5=1$이므로,

${\log }_5(5^3)=3\times {\log }_{5}5=3\times 1=3$

[함정경고] 진수끼리 더하는 것으로 착각하기 쉽습니다. 로그의 합은 진수의 곱임을 명심하세요.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 로그 합치기

${\log }_5\frac{25}{2}+{\log }_{5}10$

$={\log }_5(\frac{25}{2}\times 10)$   --- (밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱)

step2. 진수 계산

$={\log }_5(25\times 5)$

$={\log }_{5}125$

step3. 로그 값 계산

$={\log }_5(5^3)$

$=3$

$\therefore ③$

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