2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 6번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 6번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

삼각형 ABC에서 $\overline{BC}=5$, $\angle A=\frac{\pi }{6}$, $\angle B=\frac{\pi }{4}$ 일 때, 선분 AC의 길이는? [3점] ① $\frac{9}{2}\sqrt{2}$ ② $5\sqrt{2}$ ③ $\frac{11}{2}\sqrt{2}$ ④ $6\sqrt{2}$ ⑤ $\frac{13}{2}\sqrt{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 사인법칙을 이용하여 삼각형의 한 변의 길이를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 삼각형 ABC
- $\overline{BC}=5$
- $\angle A=\frac{\pi }{6}$
- $\angle B=\frac{\pi }{4}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 사인법칙을 이용하여 변의 길이를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 조건과 구하고자 하는 것을 파악하여 사인법칙을 적용할 식을 세웁니다.

step2. 특수각의 사인 값을 대입하여 방정식을 풉니다.

step3. 선분 AC의 길이를 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 사인법칙: 삼각형 ABC에서 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 이 성립한다. (조건: 삼각형의 각과 마주보는 변의 길이가 주어질 때 사용)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각형에서 두 각의 크기와 한 변의 길이가 주어졌을 때, 다른 변의 길이를 구하려면 사인법칙을 떠올려야 합니다.

step1. 주어진 조건과 구하고자 하는 것을 파악하여 사인법칙을 적용할 식을 세웁니다.

삼각형 ABC에서 마주보는 각과 변의 관계를 나타내는 사인법칙을 적용합니다.

$\frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{\overline{AC}}{\sin B}$

step2. 특수각의 사인 값을 대입하여 방정식을 풉니다.

주어진 값들을 식에 대입합니다.

$\overline{BC}=5$, $\angle A=\frac{\pi }{6}$, $\angle B=\frac{\pi }{4}$ 이므로,

$\frac{5}{\sin (\frac{\pi }{6})}=\frac{\overline{AC}}{\sin (\frac{\pi }{4})}$

우리가 알고 있는 특수각의 삼각비 값을 대입합니다.

$\sin (\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$

$\sin (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$\frac{5}{\frac{1}{2}}=\frac{\overline{AC}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

step3. 선분 AC의 길이를 계산하여 정답을 도출합니다.

좌변을 계산하면 $5÷\frac{1}{2}=10$ 입니다.

$10=\frac{\overline{AC}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

양변에 $\frac{\sqrt{2}}{2}$를 곱하여 $\overline{AC}$를 구합니다.

$\overline{AC}=10\times \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$

[함정경고] 특수각의 삼각비 값을 헷갈리거나, 분수 계산 과정에서 역수를 취하는 것을 실수하기 쉬우니 주의해야 합니다.

따라서 선분 AC의 길이는 $5\sqrt{2}$ 이며, 정답은 ②번입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 사인법칙 적용

$\frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{\overline{AC}}{\sin B}$

step2. 값 대입 및 계산

$\frac{5}{\sin (\frac{\pi }{6})}=\frac{\overline{AC}}{\sin (\frac{\pi }{4})}$   --- (주어진 조건 대입)

$\frac{5}{\frac{1}{2}}=\frac{\overline{AC}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$10=\frac{2\overline{AC}}{\sqrt{2}}$

step3. 정답 도출

$\overline{AC}=10\times \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$

$\therefore 정답②$

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