2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 9번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 9번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

9. 두 양수 $a$, $b$에 대하여 함수 $y=a\sin bx+1$의 그래프가 그림과 같을 때, $a+b$의 값은? [3점] ① 3 ② $\frac{7}{2}$ ③ 4 ④ $\frac{9}{2}$ ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수 그래프의 최댓값, 최솟값, 주기를 이용하여 미정계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $y=a\sin bx+1$
- $a>0,b>0$
- 그래프의 최댓값은 3
- 그래프의 최솟값은 -1
- 그래프에서 인접한 두 최댓값이 나타나는 $x$의 값은 각각 $\frac{\pi }{4}$, $\frac{5}{4}\pi$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수 그래프의 최댓값과 주기를 이용하여 미정계수 $a,b$를 각각 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 그래프의 최댓값을 이용하여 양수 $a$의 값을 구합니다.

step2. 그래프에서 인접한 두 최댓값의 $x$좌표 차이를 이용하여 주기를 구하고, 이를 통해 양수 $b$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 최댓값과 최솟값: 함수 $y=a\sin (bx+c)+d$ ($a>0$)의 최댓값은 $a+d$, 최솟값은 $-a+d$이다.

- 삼각함수의 주기: 함수 $y=a\sin (bx+c)+d$ ($b>0$)의 주기는 $\frac{2\pi }{b}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수 $y=a\sin bx+c$ 꼴의 그래프에서 $a$는 진폭(최댓값과 최솟값)을 결정하고, $b$는 주기를 결정합니다.

step1. 그래프의 최댓값을 이용하여 $a$ 구하기

주어진 함수는 $y=a\sin bx+1$ 이고, $a>0$ 입니다.

이 함수의 최댓값은 $a+1$ 입니다.

그래프를 보면 최댓값이 $3$ 임을 알 수 있습니다.

따라서 $a+1=3$ 이므로, $a=2$ 입니다.

(참고로 최솟값은 $-a+1=-2+1=-1$ 이며, 이는 그래프와 일치합니다.)

step2. 그래프의 주기를 이용하여 $b$ 구하기

[함정경고] 주기를 구할 때, 그래프의 한 패턴이 끝나는 지점을 정확히 파악해야 합니다. 인접한 두 최댓값(또는 최솟값) 사이의 거리가 한 주기임을 이용하면 실수를 줄일 수 있습니다.

그래프에서 인접한 두 최댓값이 나타나는 $x$의 좌표는 각각 $\frac{\pi }{4}$ 와 $\frac{5}{4}\pi$ 입니다.

삼각함수의 주기 $T$ 는 인접한 두 최댓값 사이의 거리와 같으므로,

$T=\frac{5}{4}\pi -\frac{\pi }{4}=\pi$ 입니다.

한편, 함수 $y=a\sin bx+1$ ($b>0$) 의 주기는 $\frac{2\pi }{b}$ 입니다.

따라서 $\frac{2\pi }{b}=\pi$ 가 성립해야 하므로, $b=2$ 입니다.

step3. $a+b$ 의 값 구하기

위에서 구한 $a$ 와 $b$ 의 값을 더하면,

$a+b=2+2=4$ 입니다.

따라서 정답은 4입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. a 구하기

최댓값 = a + 1 = 3   --- (a>0이므로)

$\therefore a=2$

step2. b 구하기

주기 T = 5π/4 - π/4 = π   --- (인접한 두 최댓값의 x좌표 차이)

2π/b = π   --- (b>0이므로)

$\therefore b=2$

step3. a+b 구하기

a + b = 2 + 2 = 4

$\therefore 정답③$

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