2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 10번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 10번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $y=2^{-x+a}+a$의 역함수의 그래프가 점 $(a+1,1)$을 지날 때, 상수 $a$의 값은? [3점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 역함수의 성질을 이용하여 지수함수의 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=2^{-x+a}+a$
- 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$의 그래프가 점 $(a+1,1)$을 지남

3. 풀이의 순서

이 문제는 역함수의 성질을 이용하여 원래 함수의 함숫값 조건을 찾고, 이를 통해 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 역함수가 지나는 점을 이용하여 원래 함수가 지나는 점을 찾습니다.

step2. 원래 함수의 식에 찾은 점의 좌표를 대입하여 방정식을 세웁니다.

step3. 지수방정식을 풀어 상수 $a$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 역함수의 성질: 함수 $f(x)$의 역함수가 $f^{-1}(x)$일 때, $f^{-1}(b)=a$이면 $f(a)=b$가 성립한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 역함수를 직접 구하지 않고, 역함수의 성질 $f^{-1}(b)=a⟺f(a)=b$를 이용하는 것이 핵심입니다.

step1. 역함수가 지나는 점을 이용하여 원래 함수가 지나는 점을 찾습니다.

주어진 함수를 $f(x)=2^{-x+a}+a$라고 합시다.

문제에서 역함수 $f^{-1}(x)$의 그래프가 점 $(a+1,1)$을 지난다고 했습니다.

즉, $f^{-1}(a+1)=1$입니다.

역함수의 성질에 의해, 이는 원래 함수 $f(x)$가 점 $(1,a+1)$을 지난다는 것을 의미합니다.

따라서 $f(1)=a+1$이 성립합니다.

step2. 원래 함수의 식에 찾은 점의 좌표를 대입하여 방정식을 세웁니다.

$f(x)=2^{-x+a}+a$에 $x=1$을 대입하면,

$f(1)=2^{-1+a}+a$가 됩니다.

이 값이 $a+1$과 같아야 하므로 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다.

$2^{a-1}+a=a+1$

step3. 지수방정식을 풀어 상수 $a$의 값을 구합니다.

방정식 $2^{a-1}+a=a+1$의 양변에서 $a$를 빼면,

$2^{a-1}=1$이 됩니다.

[함정경고] 여기서 $2^{a-1}=1$을 만족하는 지수를 찾을 때, 어떤 수의 0제곱이 1이라는 사실을 놓치지 않도록 주의해야 합니다.

$1=2^0$이므로,

$a-1=0$이 되어야 합니다.

따라서 $a=1$입니다.

결과적으로 상수 $a$의 값은 1이며, 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 역함수 성질 적용

$f(x)=2^{-x+a}+a$

$f^{-1}(a+1)=1⟺f(1)=a+1$

step2. 함숫값 대입

$f(1)=2^{-1+a}+a=a+1$

step3. 지수방정식 풀이

$2^{a-1}=1$

$a-1=0$

$\therefore a=1$

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