2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 8번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 8번
문제의 분류	고등학교 (로그함수)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

8. 함수 $y={\log }_{(-a^2-a+7)}x$가 $x$의 값이 증가할 때 $y$의 값도 증가하도록 하는 모든 정수 $a$의 값의 합은? [3점] ① -6 ② -5 ③ -4 ④ -3 ⑤ -2

1. 문제의 요지

이 문제는 로그함수의 밑의 조건과 증가함수가 되기 위한 밑의 범위를 이용하여 정수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $y={\log }_{(-a^2-a+7)}x$
- $x$의 값이 증가할 때 $y$의 값도 증가함
- $a$는 정수

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그함수가 증가함수일 조건인 밑이 1보다 크다는 성질을 이용하여 이차부등식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그함수가 증가함수가 되기 위한 밑의 조건을 설정합니다.

step2. 밑에 대한 이차부등식을 세우고 풉니다.

step3. 부등식을 만족하는 정수 $a$를 구하고 그 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그함수의 성질: 로그함수 $y={\log }_{a}x$에서 $a>1$이면 $x$가 증가할 때 $y$도 증가하는 증가함수이다.

- 이차부등식의 풀이: $x^2+px+q<0$ 꼴의 부등식은 인수분해를 통해 해의 범위를 구한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 로그함수 $y={\log }_{b}x$가 증가함수가 되려면 밑 $b$가 1보다 커야 합니다.

step1. 로그함수가 증가함수가 되기 위한 밑의 조건을 설정합니다.

주어진 함수 $y={\log }_{(-a^2-a+7)}x$에서 $x$의 값이 증가할 때 $y$의 값도 증가하려면, 밑이 1보다 커야 합니다.

즉, $-a^2-a+7>1$ 이어야 합니다.

step2. 밑에 대한 이차부등식을 세우고 풉니다.

위 부등식을 정리하면 다음과 같습니다.

$-a^2-a+7-1>0$

$-a^2-a+6>0$

양변에 $-1$을 곱하여 부등호의 방향을 바꿉니다.

$a^2+a-6<0$

좌변을 인수분해합니다.

$(a+3)(a-2)<0$

따라서 $a$의 범위는 $-3<a<2$ 가 됩니다.

[함정경고] 로그의 밑 조건인 $b>0,b\ne 1$만 생각하고 $b>1$ 조건을 놓치면 안 됩니다. 증가함수라는 조건이 주어졌으므로 반드시 $b>1$을 풀어야 합니다.

step3. 부등식을 만족하는 정수 $a$를 구하고 그 합을 계산합니다.

$-3<a<2$ 를 만족하는 정수 $a$는 $-2,-1,0,1$ 입니다.

이 정수들의 합을 구하면,

$(-2)+(-1)+0+1=-2$ 입니다.

따라서 모든 정수 $a$의 값의 합은 $-2$이며, 정답은 ⑤번입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 밑의 조건 설정

-a² - a + 7 > 1   --- (증가함수이므로 밑 > 1)

step2. 이차부등식 풀이

-a² - a + 6 > 0

a² + a - 6 < 0

(a + 3)(a - 2) < 0

-3 < a < 2

step3. 정수 a의 합

정수 a = -2, -1, 0, 1

합 = -2 - 1 + 0 + 1 = -2

$\therefore ⑤$

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