2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 7번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 7번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

$\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$ 인 $\theta$ 에 대하여 $\frac{\cos \theta }{\tan \theta }+\sin \theta =\sqrt{3}$ 일 때, $\cos \theta$의 값은? [3점] ① $-\frac{\sqrt{6}}{3}$ ② $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ③ $-\frac{1}{3}$ ④ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ⑤ $\frac{\sqrt{6}}{3}$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수 사이의 관계식을 이용하여 주어진 식을 간단히 하고, 특정 사분면에서의 삼각함수의 부호를 고려하여 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$
- $\frac{\cos \theta }{\tan \theta }+\sin \theta =\sqrt{3}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 식을 간단히 한 후, 사분면에 따른 부호를 판별하여 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 를 이용하여 주어진 식을 $\sin \theta$ 와 $\cos \theta$ 로만 표현합니다.

step2. ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 을 이용하여 $\sin \theta$ 의 값을 구합니다.

step3. 다시 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 을 이용하여 ${\cos }^2\theta$ 의 값을 구하고, 주어진 $\theta$ 의 범위를 통해 $\cos \theta$ 의 부호를 결정하여 최종 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수 사이의 관계: $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$, ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 제2사분면($\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$)에서 $\sin \theta >0$, $\cos \theta <0$, $\tan \theta <0$ 이다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 삼각함수의 기본 성질을 이용하여 복잡해 보이는 식을 간단하게 정리하는 것이 핵심입니다.

[키포인트] $\tan \theta$ 를 $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 로 바꾸어 식을 $\sin \theta$ 와 $\cos \theta$ 만으로 표현하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 를 이용하여 주어진 식을 $\sin \theta$ 와 $\cos \theta$ 로만 표현합니다.

주어진 식은 $\frac{\cos \theta }{\tan \theta }+\sin \theta =\sqrt{3}$ 입니다.

여기서 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 를 대입하면,

$\frac{\cos \theta }{\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}+\sin \theta =\sqrt{3}$ 이 됩니다.

분모의 분수를 정리하면,

$\frac{{\cos }^2\theta }{\sin \theta }+\sin \theta =\sqrt{3}$ 이 됩니다.

step2. ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 을 이용하여 $\sin \theta$ 의 값을 구합니다.

위 식의 양변에 $\sin \theta$ 를 곱해줍니다. (주어진 범위에서 $\sin \theta >0$ 이므로 0이 아닙니다.)

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =\sqrt{3}\sin \theta$

우리가 잘 알고 있는 삼각함수의 성질인 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 을 좌변에 적용하면,

$1=\sqrt{3}\sin \theta$ 가 됩니다.

따라서 $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

step3. 다시 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 을 이용하여 ${\cos }^2\theta$ 의 값을 구하고, 주어진 $\theta$ 의 범위를 통해 $\cos \theta$ 의 부호를 결정하여 최종 값을 구합니다.

이제 $\cos \theta$ 의 값을 구하기 위해 다시 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 을 이용합니다.

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ 입니다.

[함정경고] 여기서 $\cos \theta =\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ 두 개의 값이 나오는데, 부호를 결정할 때 주어진 $\theta$ 의 범위를 놓치기 쉽습니다. 반드시 사분면을 확인해야 합니다.

문제에서 주어진 조건이 $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$ 이므로, $\theta$ 는 제2사분면의 각입니다.

제2사분면에서 코사인 값은 음수이므로, $\cos \theta <0$ 입니다.

따라서 $\cos \theta =-\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ 이 됩니다.

결과적으로 정답은 ①번입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 정리

$\frac{\cos \theta }{\tan \theta }+\sin \theta =\sqrt{3}$

$\frac{{\cos }^2\theta }{\sin \theta }+\sin \theta =\sqrt{3}$   --- ($\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 이용)

step2. $\sin \theta$ 구하기

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =\sqrt{3}\sin \theta$

$1=\sqrt{3}\sin \theta$   --- (${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 이용)

$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$

step3. $\cos \theta$ 구하기

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

$\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$ 이므로 $\cos \theta <0$

$\therefore \cos \theta =-\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$

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