2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 4번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 4번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

$\frac{\pi }{2}<x<\frac{3}{2}\pi$ 일 때, 방정식 $\sqrt{3}\tan x=1$ 의 해는? [3점] ① $\frac{2}{3}\pi$ ② $\frac{5}{6}\pi$ ③ $\pi$ ④ $\frac{7}{6}\pi$ ⑤ $\frac{4}{3}\pi$

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 구간에서 삼각방정식을 풀고 특수각의 삼각비 값을 이용하여 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\frac{\pi }{2}<x<\frac{3}{2}\pi$
- $\sqrt{3}\tan x=1$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각방정식을 기본형으로 정리한 후, 탄젠트 함수의 주기성을 이용하여 주어진 범위 내의 해를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 방정식을 $\tan x=k$ 꼴로 정리합니다.

step2. 특수각을 이용하여 기본 해를 찾습니다.

step3. 탄젠트 함수의 주기성을 이용하여 주어진 범위 $\frac{\pi }{2}<x<\frac{3}{2}\pi$ 에 속하는 해를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 특수각의 삼각비: $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

- 탄젠트 함수의 주기성: $\tan (x+\pi )=\tan x$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각방정식을 풀 때는 먼저 $\tan x=k$ 형태로 식을 정리하고, 특수각을 떠올린 뒤 함수의 주기성을 이용해 주어진 범위 안의 해를 찾아야 합니다.

step1. 주어진 방정식을 정리합니다.

방정식 $\sqrt{3}\tan x=1$ 의 양변을 $\sqrt{3}$으로 나누면,

$\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 이 됩니다.

step2. 특수각을 이용하여 기본 해를 찾습니다.

우리가 알고 있는 특수각 중에서 탄젠트 값이 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 이 되는 예각은 $\frac{\pi }{6}$ 입니다.

즉, $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 입니다.

step3. 주어진 범위에 맞는 해를 구합니다.

탄젠트 함수는 주기가 $\pi$인 함수이므로, $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 을 만족하는 $x$의 값은 $x=n\pi +\frac{\pi }{6}$ ($n$은 정수) 형태로 나타낼 수 있습니다.

문제에서 주어진 $x$의 범위는 $\frac{\pi }{2}<x<\frac{3}{2}\pi$ 입니다.

$n=0$ 일 때, $x=\frac{\pi }{6}$ 이며, 이는 주어진 범위에 속하지 않습니다.

$n=1$ 일 때, $x=\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7}{6}\pi$ 입니다.

이 값은 $\frac{\pi }{2}(=\frac{3}{6}\pi )$ 보다 크고 $\frac{3}{2}\pi (=\frac{9}{6}\pi )$ 보다 작으므로 주어진 범위에 속합니다.

[함정경고] $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 을 보고 무작정 $x=\frac{\pi }{6}$ 만 생각하고 끝내면 안 됩니다. 반드시 문제에서 요구하는 $x$의 범위를 확인하여 그 안에 들어가는 해를 찾아야 합니다.

따라서 구하는 해는 $x=\frac{7}{6}\pi$ 입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 방정식 정리

$\sqrt{3}\tan x=1$

$\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

step2. 특수각 확인

$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

step3. 범위 내 해 찾기

주기 $\pi$ 이므로 $x=n\pi +\frac{\pi }{6}$

$\frac{\pi }{2}<x<\frac{3}{2}\pi$ 이므로

$n=1$ 일 때, $x=\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7}{6}\pi$

따라서 $\frac{7}{6}\pi$

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