2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 14번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 14번
문제의 분류	고등학교 (사인법칙과 코사인법칙)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

14. $\overline{AB}=2\sqrt{7}$ 인 삼각형 ABC에서 선분 BC의 중점을 P, 선분 BC를 5 : 1로 내분하는 점을 Q라 하자. $\overline{AQ}=3\sqrt{2},\sin (\angle QAP):\sin (\angle APQ)=\sqrt{2}:3$ 일 때, 삼각형 ABC의 외접원의 넓이는? [4점] ① $\frac{85}{9}\pi$ ② $\frac{88}{9}\pi$ ③ $\frac{91}{9}\pi$ ④ $\frac{94}{9}\pi$ ⑤ $\frac{97}{9}\pi$

1. 문제의 요지

이 문제는 사인법칙을 이용하여 선분의 길이를 구하고, 코사인법칙과 파푸스의 중선정리를 활용하여 삼각형의 각 변의 길이를 알아낸 뒤, 다시 사인법칙을 적용하여 외접원의 반지름을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\overline{AB}=2\sqrt{7}$
- 점 P는 선분 BC의 중점
- 점 Q는 선분 BC를 5 : 1로 내분하는 점
- $\overline{AQ}=3\sqrt{2}$
- $\sin (\angle QAP):\sin (\angle APQ)=\sqrt{2}:3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 사인법칙과 코사인법칙을 단계적으로 적용하여 삼각형의 요소들을 파악하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 삼각형 APQ에서 사인법칙을 이용하여 선분 PQ의 길이를 구합니다.

step2. 점 P와 Q의 내분 조건을 이용하여 선분 BC의 전체 길이를 구합니다.

step3. 삼각형 ABQ에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos B$의 값을 구합니다.

step4. 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 이용하여 선분 AC의 길이를 구합니다.

step5. $\sin B$의 값을 구하고, 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름과 넓이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 사인법칙: 삼각형 ABC에서 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$이 성립합니다.

- 코사인법칙: 삼각형 ABC에서 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 주어진 각의 사인 값의 비를 보면 사인법칙을 떠올려야 합니다. 이를 통해 선분의 길이를 구하고, 코사인법칙으로 연결하는 것이 핵심입니다.

step1. 삼각형 APQ에서 사인법칙을 적용합니다.

주어진 조건에서 $\sin (\angle QAP):\sin (\angle APQ)=\sqrt{2}:3$ 이므로, $\frac{\sin (\angle QAP)}{\sin (\angle APQ)}=\frac{\sqrt{2}}{3}$ 입니다.

삼각형 APQ에서 사인법칙에 의해 $\frac{\overline{PQ}}{\sin (\angle QAP)}=\frac{\overline{AQ}}{\sin (\angle APQ)}$ 가 성립합니다.

따라서 $\overline{PQ}=\overline{AQ}\times \frac{\sin (\angle QAP)}{\sin (\angle APQ)}=3\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{3}=2$ 입니다.

step2. 선분 BC의 길이를 구합니다.

점 P는 선분 BC의 중점이므로 $\overline{BP}=\overline{PC}$ 입니다.

점 Q는 선분 BC를 5 : 1로 내분하므로 $\overline{BQ}:\overline{QC}=5:1$ 입니다.

$\overline{BC}=6k$ ($k>0$)라 하면, $\overline{BP}=3k$, $\overline{PC}=3k$, $\overline{BQ}=5k$, $\overline{QC}=k$ 로 표현할 수 있습니다.

이때 $\overline{PQ}=\overline{PC}-\overline{QC}=3k-k=2k$ 가 됩니다.

step1. 에서 $\overline{PQ}=2$ 임을 구했으므로, $2k=2$ 에서 $k=1$ 입니다.

따라서 $\overline{BC}=6$, $\overline{BQ}=5$ 입니다.

[함정경고] 점 P와 Q의 위치 관계를 파악할 때, 비례상수를 도입하여 각 선분의 길이를 정확히 표현하지 않으면 계산 실수가 발생하기 쉽습니다.

step3. 삼각형 ABQ에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos B$를 구합니다.

$\overline{AB}=2\sqrt{7}$, $\overline{BQ}=5$, $\overline{AQ}=3\sqrt{2}$ 이므로 코사인법칙을 적용하면,

$\cos B=\frac{{\overline{AB}}^2+{\overline{BQ}}^2-{\overline{AQ}}^2}{2·\overline{AB}·\overline{BQ}}=\frac{(2\sqrt{7}{)}^2+5^2-(3\sqrt{2}{)}^2}{2·2\sqrt{7}·5}=\frac{28+25-18}{20\sqrt{7}}=\frac{35}{20\sqrt{7}}=\frac{7}{4\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$ 입니다.

step4. 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 이용하여 선분 AC의 길이를 구합니다.

$\overline{AB}=2\sqrt{7}$, $\overline{BC}=6$, $\cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$ 이므로 코사인법칙을 적용하면,

${\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2-2·\overline{AB}·\overline{BC}·\cos B=28+36-2·2\sqrt{7}·6·\frac{\sqrt{7}}{4}=64-42=22$ 입니다.

따라서 $\overline{AC}=\sqrt{22}$ 입니다.

step5. 외접원의 넓이를 구합니다.

${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$ 이므로 $\sin B=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$ 입니다.

삼각형 ABC의 외접원의 반지름을 $R$이라 하면, 사인법칙에 의해 $2R=\frac{\overline{AC}}{\sin B}=\frac{\sqrt{22}}{\frac{3}{4}}=\frac{4\sqrt{22}}{3}$ 입니다.

따라서 $R=\frac{2\sqrt{22}}{3}$ 이고, 외접원의 넓이는 $\pi R^2=\pi {\left(\frac{2\sqrt{22}}{3}\right)}^2=\frac{88}{9}\pi$ 입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 사인법칙

$\frac{\overline{PQ}}{\sin (\angle QAP)}=\frac{\overline{AQ}}{\sin (\angle APQ)}$

$\overline{PQ}=3\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{3}=2$

step2. 내분점

$\overline{BC}=6k$ 라 하면 $\overline{BP}=3k,\overline{PC}=3k,\overline{BQ}=5k,\overline{QC}=k$

$\overline{PQ}=3k-k=2k=2⟹k=1$

$\therefore \overline{BC}=6,\overline{BQ}=5$

step3. 코사인법칙

$△ABQ$에서

$\cos B=\frac{(2\sqrt{7}{)}^2+5^2-(3\sqrt{2}{)}^2}{2·2\sqrt{7}·5}=\frac{28+25-18}{20\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

step4. 코사인법칙

$△ABC$에서

${\overline{AC}}^2=28+36-2·2\sqrt{7}·6·\frac{\sqrt{7}}{4}=64-42=22$

$\overline{AC}=\sqrt{22}$

step5. 사인법칙과 외접원

$\sin B=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac{3}{4}$

$2R=\frac{\sqrt{22}}{\frac{3}{4}}=\frac{4\sqrt{22}}{3}⟹R=\frac{2\sqrt{22}}{3}$

$S=\pi R^2=\frac{88}{9}\pi$

$\therefore ②$

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