2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 12번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 12번
문제의 분류	고등학교 (수열의 귀납적 정의)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $a_4$ 의 최댓값은? [4점] (가) $a_1=a_3$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(a_{n+1}-a_n+3)(a_{n+1}-2a_n)=0$ 이다. ① 9 ② 12 ③ 15 ④ 18 ⑤ 21

1. 문제의 요지

이 문제는 수열의 귀납적 정의를 이해하고, 주어진 조건을 만족하는 모든 가능한 수열의 항을 추적하여 특정 항의 최댓값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 수열 $\{a_n\}$
- (가) $a_1=a_3$
- (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(a_{n+1}-a_n+3)(a_{n+1}-2a_n)=0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열의 귀납적 관계식을 두 가지 경우로 나누어 수형도처럼 전개하며 조건을 만족하는 초기항을 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (나)를 해석하여 $a_{n+1}$ 과 $a_n$ 의 관계식을 도출합니다.

step2. $a_1$ 을 미지수로 두고, $a_2$, $a_3$ 의 가능한 모든 경우를 식으로 나타냅니다.

step3. 조건 (가) $a_1=a_3$ 을 이용하여 각 경우별로 $a_1$ 의 값을 구하고, 모순이 없는지 확인합니다.

step4. 구해진 $a_3$ 의 값을 바탕으로 가능한 $a_4$ 의 값들을 모두 구하고, 그 중 최댓값을 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 귀납적 정의: 이웃하는 항들 사이의 관계식을 통해 수열을 정의하는 방법입니다. 조건에 따라 여러 갈래로 나뉠 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 조건 (나)의 이차식 형태는 $a_{n+1}$ 이 $a_n$ 에 대해 두 가지 규칙 중 하나를 따른다는 것을 의미합니다. 이를 바탕으로 경우를 나누어 추적하는 것이 핵심입니다.

step1. 조건 (나) 해석

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(a_{n+1}-a_n+3)(a_{n+1}-2a_n)=0$ 이므로,

$a_{n+1}-a_n+3=0$ 또는 $a_{n+1}-2a_n=0$ 입니다.

즉, $a_{n+1}=a_n-3$ 또는 $a_{n+1}=2a_n$ 입니다.

step2. $a_1$ 에서 $a_3$ 까지의 전개

$a_1=a$ 라고 합시다.

$n=1$ 일 때, $a_2$ 는 다음 두 가지 중 하나입니다.

(1) $a_2=a-3$

(2) $a_2=2a$

$n=2$ 일 때, $a_3$ 는 $a_2$ 의 각 경우에 대해 다시 두 가지로 나뉩니다.

경우 (1) $a_2=a-3$ 일 때:

- (1-1) $a_3=a_2-3=(a-3)-3=a-6$

- (1-2) $a_3=2a_2=2(a-3)=2a-6$

경우 (2) $a_2=2a$ 일 때:

- (2-1) $a_3=a_2-3=2a-3$

- (2-2) $a_3=2a_2=2(2a)=4a$

step3. 조건 (가)를 이용한 $a$ 값 도출

조건 (가)에서 $a_1=a_3$ 이므로, $a_3=a$ 가 되어야 합니다.

각 경우에 대해 확인해 봅시다.

- (1-1) $a=a-6\Rightarrow 0=-6$ (모순이므로 불가능)

- (1-2) $a=2a-6\Rightarrow a=6$

이때 $a_1=6,a_2=3,a_3=6$ 입니다.

- (2-1) $a=2a-3\Rightarrow a=3$

이때 $a_1=3,a_2=6,a_3=3$ 입니다.

- (2-2) $a=4a\Rightarrow 3a=0\Rightarrow a=0$

이때 $a_1=0,a_2=0,a_3=0$ 입니다.

[함정경고] $a_1=a_3$ 조건을 만족하는 $a$ 의 값이 여러 개 나올 수 있으므로, 하나만 찾고 멈추지 말고 모든 경우를 끝까지 확인해야 합니다.

step4. $a_4$ 의 최댓값 구하기

이제 가능한 $a_3$ 의 값들로부터 $a_4$ 를 구합니다.

$a_4=a_3-3$ 또는 $a_4=2a_3$ 입니다.

- $a_3=6$ 인 경우 (1-2):

$a_4=6-3=3$ 또는 $a_4=2imes6=12$

- $a_3=3$ 인 경우 (2-1):

$a_4=3-3=0$ 또는 $a_4=2imes3=6$

- $a_3=0$ 인 경우 (2-2):

$a_4=0-3=-3$ 또는 $a_4=2imes0=0$

따라서 가능한 $a_4$ 의 값은 $3,12,0,6,-3$ 이며, 이 중 최댓값은 $12$ 입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 해석

$a_{n+1}=a_n-3$ 또는 $a_{n+1}=2a_n$

step2. & 3. $a_1=a_3$ 조건 적용

$a_1=a$ 라 하면

$a_2=a-3$ 또는 $2a$

1) $a_2=a-3$ 일 때

$a_3=a-6$ 또는 $2a-6$

$a_1=a_3$ 이므로 $a=a-6$ (모순) 또는 $a=2a-6\Rightarrow a=6$

$herefore{a}_3=6$

2) $a_2=2a$ 일 때

$a_3=2a-3$ 또는 $4a$

$a_1=a_3$ 이므로 $a=2a-3\Rightarrow a=3$ 또는 $a=4a\Rightarrow a=0$

$herefore{a}_3=3$ 또는 $0$

step4. $a_4$ 최댓값

$a_4=a_3-3$ 또는 $2a_3$

$a_3=6\Rightarrow a_4=3,12$

$a_3=3\Rightarrow a_4=0,6$

$a_3=0\Rightarrow a_4=-3,0$

$herefore$ 최댓값은 $12$

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