2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 15번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 15번
문제의 분류	고등학교 (미적분/다항함수의 미분법)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

상수 $k$와 $f^{\prime }(0)=6$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)+k\hfill & (|x|>1)\hfill \\ -f(x)\hfill & (|x|\le 1)\hfill \end{array}$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $k+f(\frac{1}{2})$의 값은? [4점] (가) 모든 실수 $a$에 대하여 ${lim}_{x\to a+}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$의 값이 존재하고 그 값은 0 이하이다. (나) $x$에 대한 방정식 $g(x)=t$의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 실수 $t$의 최댓값은 13 이다. ① $\frac{15}{4}$ ② $\frac{27}{4}$ ③ $\frac{39}{4}$ ④ $\frac{51}{4}$ ⑤ $\frac{63}{4}$

1. 문제의 요지

이 문제는 조건 (가)의 우미분계수 조건과 조건 (나)의 실근 개수 조건을 이용하여 삼차함수 $f(x)$와 상수 $k$를 결정하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)$는 삼차함수
- $f^{\prime }(0)=6$
- $g(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)+k\hfill & (|x|>1)\hfill \\ -f(x)\hfill & (|x|\le 1)\hfill \end{array}$
- (가) 모든 실수 $a$에 대하여 ${lim}_{x\to a+}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$의 값이 존재하고 그 값은 0 이하이다.
- (나) 방정식 $g(x)=t$의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 실수 $t$의 최댓값은 13이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 우미분계수의 정의와 함수의 단조성을 이용하여 삼차함수를 추론하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)의 극한식이 $g(x)$의 우미분계수를 의미함을 파악하고, $g(x)$가 모든 점에서 우연속이며 단조감소(비증가)함을 도출합니다.

step2. $g(x)$의 각 구간별 도함수의 부호를 통해 $f^{\prime }(x)$를 결정하고, $f^{\prime }(0)=6$을 이용하여 $f^{\prime }(x)$의 식을 완성합니다.

step3. $x=1$에서의 우연속 조건을 이용하여 상수 $k$를 $f(x)$의 적분상수 $C$로 표현합니다.

step4. 조건 (나)의 실근 개수 조건을 이용하여 $g(x)$의 그래프 개형을 분석하고, 적분상수 $C$와 상수 $k$의 값을 확정합니다.

step5. 구한 $f(x)$와 $k$를 이용하여 최종적으로 $k+f(\frac{1}{2})$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 우미분계수: 함수 $f(x)$에 대하여 ${lim}_{x\to a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$가 존재할 때, 이를 $x=a$에서의 우미분계수라 합니다.

- 함수의 단조성: 구간 내의 모든 점에서 도함수(또는 우미분계수)가 0 이하이면, 그 함수는 해당 구간에서 단조감소(비증가)합니다.

5. 구체적 풀이

step1. 조건 (가)에서 ${lim}_{x\to a+}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$는 함수 $g(x)$의 $x=a$에서의 우미분계수를 의미합니다. 이 값이 모든 실수 $a$에 대하여 존재하고 0 이하라는 것은, $g(x)$가 모든 점에서 우연속이며 단조감소(비증가)하는 함수임을 뜻합니다.

step2. $g(x)$는 구간 $(-\infty ,-1)$, $(-1,1)$, $(1,\infty )$에서 각각 미분가능하므로, 각 구간에서 $g^{\prime }(x)\le 0$이어야 합니다.

$|x|>1$일 때, $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\le 0$

$|x|<1$일 때, $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(x)\le 0⟹f^{\prime }(x)\ge 0$

따라서 $f^{\prime }(x)$는 $x=-1$과 $x=1$에서 부호가 바뀌는 이차함수입니다.

$f^{\prime }(x)=a(x+1)(x-1)$ ($a<0$)로 둘 수 있고, $f^{\prime }(0)=6$이므로 $-a=6⟹a=-6$입니다.

즉, $f^{\prime }(x)=-6x^2+6$이며, 이를 적분하면 $f(x)=-2x^3+6x+C$가 됩니다.

step3. $g(x)$가 $x=1$에서 우미분계수가 존재하려면 $x=1$에서 우연속이어야 합니다.

${lim}_{x\to 1+}g(x)=g(1)⟹f(1)+k=-f(1)⟹k=-2f(1)$

$f(1)=-2+6+C=4+C$이므로, $k=-2(4+C)=-8-2C$입니다.

step4. $g(x)$의 식을 $C$로 나타내면 다음과 같습니다.

$g(x)=\{\begin{array}{cc}-2x^3+6x-C-8\hfill & (x<-1)\hfill \\ 2x^3-6x-C\hfill & (-1\le x\le 1)\hfill \\ -2x^3+6x-C-8\hfill & (x>1)\hfill \end{array}$

$g(x)$는 $x<-1$에서 감소하고, $xo-1-$일 때 $-12-C$로 수렴합니다.

$x=-1$에서의 함숫값은 $g(-1)=4-C$이며, $x\ge -1$ 구간에서도 계속 감소합니다.

[키포인트] $g(x)$는 $x=-1$에서 불연속이지만, 각 구간에서 엄밀히 감소하므로 방정식 $g(x)=t$의 실근이 2개가 되려면 $t$가 두 구간의 치역이 겹치는 부분에 있어야 합니다.

$(-\infty ,-1)$에서의 치역은 $(-12-C,\infty )$이고, $[-1,\infty )$에서의 치역은 $(-\infty ,4-C]$입니다.

두 치역의 교집합은 $(-12-C,4-C]$이므로, 실근이 2개가 되는 $t$의 범위는 $-12-C<t\le 4-C$입니다.

[함정경고] $x=-1$에서 좌극한과 함숫값이 다르므로 불연속점에서의 $t$값 포함 여부를 주의해야 합니다. $t=4-C$일 때 $x=-1$에서 근을 가지므로 포함됩니다.

조건 (나)에서 $t$의 최댓값이 13이므로, $4-C=13⟹C=-9$입니다.

따라서 $k=-8-2(-9)=10$입니다.

step5. $f(x)=-2x^3+6x-9$이므로,

$f(\frac{1}{2})=-2(\frac{1}{8})+6(\frac{1}{2})-9=-\frac{1}{4}+3-9=-\frac{25}{4}$입니다.

최종적으로 $k+f(\frac{1}{2})=10-\frac{25}{4}=\frac{15}{4}$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 우미분계수와 단조성

$g_{+}^{\prime }(x)\le 0$ 이므로 $g(x)$는 단조감소, 모든 점에서 우연속

step2. $f^{\prime }(x)$ 결정

$|x|>1$: $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\le 0$

$|x|<1$: $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(x)\le 0⟹f^{\prime }(x)\ge 0$

$f^{\prime }(x)=a(x+1)(x-1)$

$f^{\prime }(0)=-a=6⟹a=-6$

$f^{\prime }(x)=-6x^2+6⟹f(x)=-2x^3+6x+C$

step3. 우연속 조건

$x=1$에서 우연속: $f(1)+k=-f(1)⟹k=-2f(1)$

$f(1)=4+C⟹k=-8-2C$

step4. 실근 개수와 최댓값

$g(x)=\{\begin{array}{cc}-2x^3+6x-C-8\hfill & (|x|>1)\hfill \\ 2x^3-6x-C\hfill & (|x|\le 1)\hfill \end{array}$

$x=-1$에서 좌극한: $-12-C$, 함숫값: $4-C$

실근 2개 조건: $-12-C<t\le 4-C$

$t$의 최댓값 $4-C=13⟹C=-9$

$k=-8-2(-9)=10$

step5. 정답 계산

$f(x)=-2x^3+6x-9$

$f(1/2)=-1/4+3-9=-25/4$

$\therefore k+f(1/2)=10-25/4=15/4$

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