2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 17번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 17번
문제의 분류	고등학교 (부정적분)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

다항함수 $f(x)$에 대하여 $f^{\prime }(x)=3x^2+4x$이고 $f(0)=3$ 일 때, $f(1)$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 도함수가 주어졌을 때 부정적분을 이용하여 원래의 함수를 구하고, 주어진 함숫값을 통해 적분상수를 결정하여 특정 함숫값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항함수 $f(x)$
- $f^{\prime }(x)=3x^2+4x$
- $f(0)=3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 도함수를 부정적분하여 원래 함수를 찾고, 초기 조건을 이용해 적분상수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 도함수 $f^{\prime }(x)$를 부정적분하여 $f(x)$의 식을 세웁니다.

step2. 주어진 조건 $f(0)=3$을 이용하여 적분상수 $C$의 값을 구합니다.

step3. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=1$을 대입하여 $f(1)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 부정적분: 함수 $f(x)$의 도함수가 $f^{\prime }(x)$일 때, $f^{\prime }(x)$의 부정적분은 $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$ (단, $C$는 적분상수)로 나타냅니다.

- 다항함수의 적분법: $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$ ($n$은 음이 아닌 정수, $C$는 적분상수)를 이용합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 도함수 $f^{\prime }(x)$가 주어졌을 때 원래 함수 $f(x)$를 구하려면 부정적분을 해야 하며, 이때 반드시 적분상수 $C$를 붙여야 합니다.

step1. 주어진 도함수 $f^{\prime }(x)=3x^2+4x$를 부정적분하여 $f(x)$를 구합니다.

$f(x)=\int f^{\prime }(x)dx=\int (3x^2+4x)dx$

다항함수의 적분법을 적용하면,

$f(x)=x^3+2x^2+C$ (단, $C$는 적분상수) 가 됩니다.

step2. 문제에서 주어진 조건 $f(0)=3$을 이용하여 적분상수 $C$를 구합니다.

위에서 구한 $f(x)$ 식에 $x=0$을 대입하면,

$f(0)=0^3+2·0^2+C=C$

따라서 $C=3$임을 알 수 있습니다.

그러므로 함수 $f(x)$는 다음과 같이 완성됩니다.

$f(x)=x^3+2x^2+3$

[함정경고] 부정적분을 할 때 적분상수 $C$를 빼먹고 $f(x)=x^3+2x^2$로만 생각하여 $f(1)$을 계산하는 실수를 하기 쉽습니다. 반드시 적분상수를 포함하여 식을 세워야 합니다.

step3. 완성된 함수 $f(x)$에 $x=1$을 대입하여 $f(1)$의 값을 구합니다.

$f(1)=1^3+2·1^2+3$

$f(1)=1+2+3=6$

따라서 $f(1)$의 값은 6입니다.

[정답] 6

⚡ 실전용 풀이

step1. 부정적분

$f(x)=\int (3x^2+4x)dx$

$f(x)=x^3+2x^2+C$

step2. 적분상수 계산

$f(0)=C=3$   --- ($f(0)=3$이므로)

$\therefore f(x)=x^3+2x^2+3$

step3. 정답 도출

$f(1)=1^3+2(1{)}^2+3$

$f(1)=1+2+3=6$

$\therefore 6$

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