2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 16번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 16번
문제의 분류	고등학교 (로그방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

방정식 $lo{g}_5(x+1)+lo{g}_5(x-1)=lo{g}_{25}9$ 를 만족시키는 실수 $x$ 의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 성질을 이용하여 밑을 통일하고, 진수 조건을 고려하여 로그방정식의 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 방정식: $lo{g}_5(x+1)+lo{g}_5(x-1)=lo{g}_{25}9$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 진수 조건을 먼저 확인한 후, 로그의 성질을 이용하여 밑을 같게 만들어 방정식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그가 정의되기 위한 진수 조건을 구합니다.

step2. 로그의 성질을 이용하여 좌변과 우변의 밑을 5로 통일하고 식을 간단히 정리합니다.

step3. 밑이 같으므로 진수끼리 같음을 이용하여 이차방정식을 풉니다.

step4. 구한 해 중에서 진수 조건을 만족하는 값만 최종 정답으로 선택합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 진수 조건: 로그 $lo{g}_{a}N$ 이 정의되기 위해서는 밑 $a>0,a\ne 1$ 이고, 진수 $N>0$ 이어야 한다.

- 로그의 덧셈 성질: 밑이 같은 두 로그의 합은 진수의 곱과 같다. $lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N=lo{g}_a(MN)$

- 로그의 밑 변환 성질: $lo{g}_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}lo{g}_{a}b$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 로그방정식을 풀 때는 가장 먼저 진수 조건을 확인해야 합니다. 진수 조건을 빠뜨리면 무연근(조건을 만족하지 않는 가짜 해)을 정답으로 적는 실수를 할 수 있습니다.

step1. 진수 조건 확인

주어진 방정식에서 로그의 진수는 $x+1$ 과 $x-1$ 입니다.

로그가 정의되려면 진수가 항상 양수이어야 하므로,

$x+1>0$ 에서 $x>-1$

$x-1>0$ 에서 $x>1$

이 두 조건을 동시에 만족해야 하므로, 공통 범위는 $x>1$ 입니다.

step2. 로그의 성질을 이용한 식 정리

좌변은 로그의 덧셈 성질을 이용하여 하나의 로그로 합칩니다.

$lo{g}_5(x+1)+lo{g}_5(x-1)=lo{g}_5((x+1)(x-1))=lo{g}_5(x^2-1)$

우변은 밑을 5로 맞추기 위해 로그의 성질을 이용합니다.

$25=5^2$ 이고 $9=3^2$ 이므로,

$lo{g}_{25}9=lo{g}_{5^2}{3}^2=\frac{2}{2}lo{g}_{5}3=lo{g}_{5}3$

step3. 방정식 풀이

정리된 좌변과 우변을 같다고 놓으면,

$lo{g}_5(x^2-1)=lo{g}_{5}3$

밑이 5로 같으므로, 진수끼리 같아야 합니다.

$x^2-1=3$

$x^2=4$

$x=2$ 또는 $x=-2$

step4. 진수 조건 적용

[함정경고] 여기서 구한 $x=-2$ 를 그대로 답으로 적기 쉽습니다. 반드시 처음에 구한 진수 조건 $x>1$ 을 확인해야 합니다.

$x>1$ 이어야 하므로, $x=-2$ 는 버리고 $x=2$ 만 해가 됩니다.

따라서 실수 $x$ 의 값은 2 입니다.

[정답] 2

⚡ 실전용 풀이

step1. 진수 조건

$x+1>0,x-1>0\Rightarrow x>1$

step2. 식 정리

$lo{g}_5(x+1)+lo{g}_5(x-1)=lo{g}_5(x^2-1)$

$lo{g}_{25}9=lo{g}_{5^2}{3}^2=lo{g}_{5}3$

step3. 방정식 풀이

$lo{g}_5(x^2-1)=lo{g}_{5}3$

$x^2-1=3$

$x^2=4$

$x=\pm 2$

step4. 조건 적용

$x>1$ 이므로 $x=2$

$\therefore 2$

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