2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 18번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 18번
문제의 분류	고등학교 (수열의 합)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

18. ${\sum }_{k=1}^6(k^2+2k)$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 시그마($\sum$)의 성질과 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 주어진 수열의 합을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\sum }_{k=1}^6(k^2+2k)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 시그마의 성질과 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 수열의 합을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 시그마의 성질을 이용하여 주어진 식을 두 개의 시그마로 분리합니다.

step2. 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 각각의 시그마 값을 계산합니다.

step3. 계산된 두 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 시그마의 성질: ${\sum }_{k=1}^n(a_k+b_k)={\sum }_{k=1}^n{a}_k+{\sum }_{k=1}^n{b}_k$, ${\sum }_{k=1}^{n}c{a}_k=c{\sum }_{k=1}^n{a}_k$ (단, $c$는 상수)

- 자연수의 거듭제곱의 합 공식: ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$, ${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

5. 구체적 풀이

step1. 시그마의 성질을 이용하여 주어진 식을 분리합니다.

${\sum }_{k=1}^6(k^2+2k)={\sum }_{k=1}^6{k}^2+{\sum }_{k=1}^{6}2k={\sum }_{k=1}^6{k}^2+2{\sum }_{k=1}^{6}k$

step2. 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 각각의 값을 계산합니다.

[키포인트] 자연수의 거듭제곱의 합 공식 ${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$과 ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$를 정확히 암기하고 적용하는 것이 핵심입니다.

$n=6$을 대입하여 계산하면,

${\sum }_{k=1}^6{k}^2=\frac{6\times (6+1)\times (2\times 6+1)}{6}=\frac{6\times 7\times 13}{6}=91$

${\sum }_{k=1}^{6}k=\frac{6\times (6+1)}{2}=\frac{6\times 7}{2}=21$

step3. 계산된 값을 대입하여 최종 결과를 구합니다.

[함정경고] 두 번째 항에서 상수 2를 곱하는 것을 잊지 않도록 주의해야 합니다.

${\sum }_{k=1}^6{k}^2+2{\sum }_{k=1}^{6}k=91+2\times 21=91+42=133$

[정답] 133

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 분리

${\sum }_{k=1}^6(k^2+2k)={\sum }_{k=1}^6{k}^2+2{\sum }_{k=1}^{6}k$

step2. 공식 적용

$=\frac{6\times 7\times 13}{6}+2\times \frac{6\times 7}{2}$

step3. 계산

$=91+42$

$=133$

$\therefore 133$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기