2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 20번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 20번
문제의 분류	고등학교 (함수와 방정식, 수열)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. $0\le x<4$일 때 $f(x)=-x^2+4x$ 이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+4)=f(x)$이다. 방정식 $f(f(x))=f(x)$의 $0$ 이상인 모든 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_n$이라 하자. 다음은 $a_{20}+a_{21}+a_{22}$의 값을 구하는 과정이다. 방정식 $f(x)=x$의 모든 실근이 $0,3$이므로 방정식 $f(f(x))=f(x)$의 실근을 구하는 것은 방정식 $f(x)\times (f(x)-3)=0$의 실근을 구하는 것과 같다. $0\le x<4$일 때, 방정식 $f(x)\times (f(x)-3)=0$의 모든 실근은 $0,$ (가)$,3$이므로 $a_1=0,a_2=$ (가)$,a_3=3$이다. 또한 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+4)=f(x)$이므로 세 수열 $\{a_{3n-2}\},\{a_{3n-1}\},\{a_{3n}\}$은 첫째항이 각각 $0,$ (가)$,3$이고 공차가 모두 (나) 인 등차수열이다. 따라서 $a_{20}+a_{21}+a_{22}=$ (다)이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p,q,r$이라 할 때, $p+q+r$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 주기함수의 성질과 이차방정식의 해를 이용하여 합성함수 방정식의 실근을 구하고, 이를 수열의 규칙성으로 파악하여 특정 항의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $0\le x<4$일 때 $f(x)=-x^2+4x$
- 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+4)=f(x)$
- 방정식 $f(f(x))=f(x)$의 $0$ 이상인 모든 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_n$이라 함
- 방정식 $f(x)=x$의 모든 실근이 $0,3$임
- 방정식 $f(f(x))=f(x)$의 실근은 $f(x)=0$ 또는 $f(x)=3$의 실근과 같음

3. 풀이의 순서

이 문제는 주어진 구간에서의 방정식의 해를 구하고, 주기함수의 성질을 이용하여 수열의 규칙을 파악하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $0\le x<4$ 구간에서 방정식 $f(x)=0$과 $f(x)=3$의 해를 구하여 (가)의 값을 찾습니다.

step2. 주기함수의 성질을 이용하여 수열의 공차인 (나)의 값을 찾습니다.

step3. 수열의 일반항을 이용하여 $a_{20},a_{21},a_{22}$의 값을 각각 구하고, 그 합인 (다)의 값을 계산합니다.

step4. 구한 (가), (나), (다)의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 풀이: $a{x}^2+bx+c=0$ 형태의 방정식을 인수분해하여 해를 구합니다.

- 주기함수의 성질: $f(x+p)=f(x)$를 만족하는 함수에서, 한 주기 내의 근을 알면 모든 구간의 근을 $x_i+np$ 형태로 나타낼 수 있습니다.

- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a$이고 공차가 $d$인 등차수열의 제$n$항은 $a_n=a+(n-1)d$ 입니다.

5. 구체적 풀이

step1. $0\le x<4$ 구간에서 방정식의 해 구하기

방정식 $f(f(x))=f(x)$의 실근은 $f(x)=t$로 치환하면 $f(t)=t$가 됩니다.

문제에서 $f(x)=x$의 실근이 $0,3$이라고 주어졌으므로, $t=0$ 또는 $t=3$입니다.

즉, 우리가 풀어야 할 방정식은 $f(x)=0$ 또는 $f(x)=3$입니다.

$0\le x<4$일 때 $f(x)=-x^2+4x$이므로 각각의 해를 구해보겠습니다.

1) $f(x)=0$일 때:

$-x^2+4x=0$

$x(x-4)=0$

$x=0$ 또는 $x=4$

주어진 구간이 $0\le x<4$이므로 이 구간 내의 해는 $x=0$뿐입니다.

2) $f(x)=3$일 때:

$-x^2+4x=3$

$x^2-4x+3=0$

$(x-1)(x-3)=0$

$x=1$ 또는 $x=3$

두 값 모두 $0\le x<4$ 구간에 포함됩니다.

따라서 $0\le x<4$에서 방정식의 모든 실근은 $0,1,3$입니다.

이를 크기순으로 나열하면 $a_1=0,a_2=1,a_3=3$이 되므로, (가)에 알맞은 수는 $1$입니다.

즉, $p=1$입니다.

[키포인트] 합성함수 방정식 $f(f(x))=f(x)$는 치환을 통해 $f(x)=x$의 근을 먼저 찾고, 다시 $f(x)=근$ 형태의 방정식을 푸는 것이 핵심입니다.

step2. 주기함수의 성질을 이용하여 수열의 공차 구하기

문제에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+4)=f(x)$라고 하였습니다. 이는 함수 $f(x)$가 주기가 $4$인 주기함수임을 의미합니다.

따라서 다음 구간인 $4\le x<8$에서의 실근은 이전 구간의 실근에 각각 $4$를 더한 값인 $4,5,7$이 됩니다.

일반적으로 구간 $[4k,4k+4)$ (단, $k$는 음이 아닌 정수)에서의 실근은 $4k,4k+1,4k+3$이 됩니다.

이를 수열 $a_n$으로 나타내면, 각 구간마다 $3$개의 근이 존재하므로

$a_{3k+1}=4k$

$a_{3k+2}=4k+1$

$a_{3k+3}=4k+3$

이 성립합니다.

여기서 $k=n-1$로 치환하면 문제에 주어진 세 수열의 일반항을 얻을 수 있습니다.

$a_{3n-2}=4(n-1)=4n-4$

$a_{3n-1}=4(n-1)+1=4n-3$

$a_{3n}=4(n-1)+3=4n-1$

이 세 수열은 모두 $n$이 $1$ 증가할 때마다 값이 $4$씩 증가하므로, 공차가 $4$인 등차수열입니다.

따라서 (나)에 알맞은 수는 $4$입니다.

즉, $q=4$입니다.

[함정경고] 수열의 인덱스 $3n-2,3n-1,3n$과 주기 $4$를 혼동하여 공차를 $3$으로 착각하기 쉽습니다. 주기가 $4$이므로 값이 $4$씩 커진다는 점에 주의해야 합니다.

step3. $a_{20}+a_{21}+a_{22}$의 값 구하기

앞서 구한 일반항을 이용하여 각 항의 값을 계산합니다.

1) $a_{20}$ 구하기:

$20=3\times 7-1$이므로, $a_{3n-1}$ 수열에서 $n=7$일 때의 값입니다.

$a_{20}=4(7-1)+1=24+1=25$

2) $a_{21}$ 구하기:

$21=3\times 7$이므로, $a_{3n}$ 수열에서 $n=7$일 때의 값입니다.

$a_{21}=4(7-1)+3=24+3=27$

3) $a_{22}$ 구하기:

$22=3\times 8-2$이므로, $a_{3n-2}$ 수열에서 $n=8$일 때의 값입니다.

$a_{22}=4(8-1)+0=28+0=28$

따라서 $a_{20}+a_{21}+a_{22}=25+27+28=80$입니다.

그러므로 (다)에 알맞은 수는 $80$입니다.

즉, $r=80$입니다.

step4. 최종 정답 도출

구하고자 하는 값은 $p+q+r$입니다.

$p=1,q=4,r=80$이므로

$p+q+r=1+4+80=85$입니다.

[정답] 85

⚡ 실전용 풀이

step1. $0\le x<4$ 구간 해 구하기

$f(f(x))=f(x)\Rightarrow f(x)=0$ 또는 $f(x)=3$

$-x^2+4x=0\Rightarrow x=0,4$   --- 구간 내 $x=0$

$-x^2+4x=3\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1,3$

$\therefore a_1=0,a_2=1,a_3=3\Rightarrow p=1$

step2. 주기함수와 수열의 공차

$f(x+4)=f(x)$이므로 주기는 $4$

각 구간마다 근이 $4$씩 증가하므로 공차 $q=4$

step3. $a_{20},a_{21},a_{22}$ 계산

$a_{3n-2}=4(n-1),a_{3n-1}=4(n-1)+1,a_{3n}=4(n-1)+3$

$a_{20}=a_{3\times 7-1}=4(7-1)+1=25$

$a_{21}=a_{3\times 7}=4(7-1)+3=27$

$a_{22}=a_{3\times 8-2}=4(8-1)=28$

$r=25+27+28=80$

step4. 최종 계산

$p+q+r=1+4+80=85$

$\therefore 85$

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