2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 22번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 22번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

22. $k>1$인 실수 $k$에 대하여 두 곡선 $y=2^x+\frac{k}{2},y=k\times (\frac{1}{2}{)}^x+k-2$ 가 만나는 점을 A라 하고, 점 A를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 곡선 $y=2^{x-2}-3$과 만나는 점을 B라 하자. 삼각형 AOB의 넓이가 16 일 때, $k+{\log }_{2}k=\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 교점을 구하고, 기울기가 -1인 직선과 지수함수의 평행이동 및 대칭이동 관계를 이용하여 두 점 사이의 관계를 파악한 후, 삼각형의 넓이 조건을 통해 미지수 $k$를 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $k>1$인 실수 $k$
- 곡선 1: $y=2^x+\frac{k}{2}$
- 곡선 2: $y=k\times (\frac{1}{2}{)}^x+k-2$
- 점 A: 곡선 1과 곡선 2의 교점
- 점 B: 점 A를 지나고 기울기가 $-1$인 직선과 곡선 $y=2^{x-2}-3$의 교점
- 삼각형 AOB의 넓이 = 16
- $k+{\log }_{2}k=\frac{q}{p}$ ($p,q$는 서로소인 자연수)

3. 풀이의 순서

이 문제는 두 지수함수의 교점을 구하고, 기울기가 -1인 직선 위의 점의 성질을 이용하여 새로운 교점을 찾은 뒤, 세 점으로 이루어진 삼각형의 넓이 공식을 적용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 곡선 $y=2^x+\frac{k}{2}$와 $y=k\times (\frac{1}{2}{)}^x+k-2$의 교점 A의 좌표를 구합니다.

step2. 점 A를 지나고 기울기가 -1인 직선과 곡선 $y=2^{x-2}-3$의 교점 B의 좌표를 구합니다. 이때, 방정식의 형태를 관찰하여 해를 찾습니다.

step3. 원점 O와 두 점 A, B로 이루어진 삼각형 AOB의 넓이가 16임을 이용하여 $k+{\log }_{2}k$의 값을 구합니다.

step4. 구한 값을 $\frac{q}{p}$ 형태와 비교하여 $p+q$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수방정식의 풀이: $2^x=t$로 치환하여 이차방정식 형태로 변환한 후 해를 구합니다.

- 함수의 증가성과 일대일 대응: $f(t)=2^{t-2}+t$와 같이 단조증가하는 함수는 일대일 대응이므로 $f(a)=f(b)$이면 $a=b$임을 이용합니다.

- 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이 (신발끈 공식): 원점 $(0,0)$과 두 점 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 지수함수의 교점을 치환을 통해 구하고, 기울기가 -1인 직선과 지수함수의 교점을 구할 때 방정식의 구조적 특징을 파악하여 해를 유추하는 것이 핵심입니다.

step1. 두 곡선의 교점 A의 좌표를 구합니다.

$2^x+\frac{k}{2}=k\times 2^{-x}+k-2$

$2^x=t$ ($t>0$)라 치환하면,

$t+\frac{k}{2}=\frac{k}{t}+k-2$

양변에 $2t$를 곱하여 정리하면,

$2t^2+kt=2k+2kt-4t$

$2t^2+(4-k)t-2k=0$

인수분해하면 $(2t-k)(t+2)=0$이 됩니다.

$t>0$이므로 $t=\frac{k}{2}$ 입니다. ($k>1$이므로 조건 만족)

따라서 $2^x=\frac{k}{2}$에서 $x={\log }_2(\frac{k}{2})={\log }_{2}k-1$입니다.

이때 $y=2^{{\log }_2(k/2)}+\frac{k}{2}=\frac{k}{2}+\frac{k}{2}=k$입니다.

그러므로 점 A의 좌표는 $({\log }_{2}k-1,k)$입니다.

step2. 점 B의 좌표를 구합니다.

점 A를 지나고 기울기가 -1인 직선 위의 점 B의 좌표를 $(a,2^{a-2}-3)$이라 합시다.

두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기가 -1이므로,

$\frac{2^{a-2}-3-k}{a-({\log }_{2}k-1)}=-1$

$2^{a-2}-3-k=-a+{\log }_{2}k-1$

$2^{a-2}+a=k+{\log }_{2}k+2$

[함정경고] 이 방정식을 대수적으로 풀려고 하면 막힐 수 있습니다. 우변의 형태를 좌변과 유사하게 변형하여 해를 찾아야 합니다.

우변에서 $k=2^{{\log }_{2}k}$임을 이용하면,

$2^{{\log }_{2}k}+{\log }_{2}k+2=2^{({\log }_{2}k+2)-2}+({\log }_{2}k+2)$로 변형할 수 있습니다.

$f(t)=2^{t-2}+t$라 하면, 주어진 방정식은 $f(a)=f({\log }_{2}k+2)$가 됩니다.

함수 $f(t)$는 증가함수이므로 일대일 대응입니다. 따라서 $a={\log }_{2}k+2$입니다.

이때 $y$좌표는 $2^{({\log }_{2}k+2)-2}-3=2^{{\log }_{2}k}-3=k-3$입니다.

그러므로 점 B의 좌표는 $({\log }_{2}k+2,k-3)$입니다.

step3. 삼각형 AOB의 넓이를 이용하여 $k+{\log }_{2}k$를 구합니다.

원점 O$(0,0)$, A$({\log }_{2}k-1,k)$, B$({\log }_{2}k+2,k-3)$로 이루어진 삼각형의 넓이는 신발끈 공식을 이용하면,

$S=\frac{1}{2}|({\log }_{2}k-1)(k-3)-k({\log }_{2}k+2)|$

$=\frac{1}{2}|k{\log }_{2}k-3{\log }_{2}k-k+3-k{\log }_{2}k-2k|$

$=\frac{1}{2}|-3{\log }_{2}k-3k+3|$

$=\frac{3}{2}|k+{\log }_{2}k-1|$

$k>1$이므로 $k+{\log }_{2}k-1>0$입니다. 따라서 절댓값을 그대로 벗길 수 있습니다.

$\frac{3}{2}(k+{\log }_{2}k-1)=16$

$k+{\log }_{2}k-1=\frac{32}{3}$

$k+{\log }_{2}k=\frac{35}{3}$

step4. 정답을 도출합니다.

$k+{\log }_{2}k=\frac{35}{3}=\frac{q}{p}$이므로,

$p=3,q=35$ (3과 35는 서로소인 자연수입니다.)

따라서 $p+q=3+35=38$입니다.

[정답] 38

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점 A 구하기

$2^x+\frac{k}{2}=k·2^{-x}+k-2$

$2^x=t$ ($t>0$)라 하면,

$t+\frac{k}{2}=\frac{k}{t}+k-2$

$2t^2+(4-k)t-2k=0$

$(2t-k)(t+2)=0$

$t=\frac{k}{2}$   --- $\because t>0$

$x={\log }_{2}k-1,y=k$

$\therefore A({\log }_{2}k-1,k)$

step2. 교점 B 구하기

$B(a,2^{a-2}-3)$이라 하면, 기울기가 -1이므로

$\frac{2^{a-2}-3-k}{a-({\log }_{2}k-1)}=-1$

$2^{a-2}+a=k+{\log }_{2}k+2$

$2^{a-2}+a=2^{{\log }_{2}k}+{\log }_{2}k+2=2^{({\log }_{2}k+2)-2}+({\log }_{2}k+2)$

$f(t)=2^{t-2}+t$라 하면 $f(a)=f({\log }_{2}k+2)$

$a={\log }_{2}k+2$   --- (f(t)가 증가함수이므로)

$y=2^{{\log }_{2}k}-3=k-3$

$\therefore B({\log }_{2}k+2,k-3)$

step3. 삼각형 넓이

$S=\frac{1}{2}|({\log }_{2}k-1)(k-3)-k({\log }_{2}k+2)|=16$   --- (신발끈 공식 이용)

$\frac{1}{2}|-3{\log }_{2}k-3k+3|=16$

$\frac{3}{2}(k+{\log }_{2}k-1)=16$   --- (k>1이므로 양수)

$k+{\log }_{2}k=\frac{35}{3}$

step4. 정답 도출

$p=3,q=35$

$\therefore p+q=38$

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