2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 13번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 13번
문제의 분류	고등학교 (정적분의 활용)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 함수 $f(x)=3x^2-7x+2$에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$ 및 $y$축으로 둘러싸인 영역을 $A$, 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$로 둘러싸인 영역을 $B$, 곡선 $y=f(x)$와 두 직선 $y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$, $x=k(k>2)$로 둘러싸인 영역을 $C$라 하자. $(A의넓이)+(C의넓이)=(B의넓이)$ 일 때, 상수 $k$의 값은? [4점] ① $\frac{29}{12}$ ② $\frac{5}{2}$ ③ $\frac{31}{12}$ ④ $\frac{8}{3}$ ⑤ $\frac{11}{4}$

1. 문제의 요지

이 문제는 두 곡선(또는 직선) 사이의 넓이와 정적분의 관계를 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)=3x^2-7x+2$
- 직선 $g(x)=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$
- 영역 $A$: $y=f(x)$, $y=g(x)$, $y$축($x=0$)으로 둘러싸인 부분
- 영역 $B$: $y=f(x)$, $y=g(x)$로 둘러싸인 부분
- 영역 $C$: $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=k$ ($k>2$)로 둘러싸인 부분
- $(A의넓이)+(C의넓이)=(B의넓이)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분과 넓이의 관계를 이용하여 하나의 정적분 식으로 합쳐서 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 교점의 $x$좌표를 구합니다.

step2. 각 영역 $A,B,C$의 넓이를 정적분으로 표현합니다.

step3. 주어진 넓이의 관계식을 하나의 정적분 식으로 변형합니다.

step4. 정적분을 계산하여 $k$에 대한 방정식을 세우고, 조건에 맞는 $k$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 두 곡선 사이의 넓이: 두 연속함수 $f(x),g(x)$에 대하여 닫힌구간 $[a,b]$에서 두 곡선 $y=f(x),y=g(x)$ 및 두 직선 $x=a,x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$ 이다.

- 정적분의 성질: ${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 넓이의 합과 차가 주어졌을 때, 정적분의 성질을 이용하면 구간을 하나로 합쳐서 계산을 매우 간단하게 할 수 있습니다.

step1. 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 교점의 $x$좌표를 구합니다.

직선의 방정식을 $g(x)=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$라 합시다.

두 함수의 교점을 구하기 위해 $f(x)=g(x)$로 놓으면,

$3x^2-7x+2=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$

양변에 $3$을 곱하여 정리하면,

$9x^2-21x+6=x-2$

$9x^2-22x+8=0$

$(9x-4)(x-2)=0$

따라서 교점의 $x$좌표는 $x=\frac{4}{9}$와 $x=2$입니다.

step2. 각 영역 $A,B,C$의 넓이를 정적분으로 표현합니다.

그림에서 각 구간별로 위에 있는 함수를 확인하여 넓이를 정적분으로 나타냅니다.

- 영역 $A$ ($0\le x\le \frac{4}{9}$): $f(x)\ge g(x)$ 이므로, $A={\int }_0^{\frac{4}{9}}(f(x)-g(x))dx$

- 영역 $B$ ($\frac{4}{9}\le x\le 2$): $g(x)\ge f(x)$ 이므로, $B={\int }_{\frac{4}{9}}^2(g(x)-f(x))dx=-{\int }_{\frac{4}{9}}^2(f(x)-g(x))dx$

- 영역 $C$ ($2\le x\le k$): $f(x)\ge g(x)$ 이므로, $C={\int }_2^k(f(x)-g(x))dx$

step3. 주어진 넓이의 관계식을 하나의 정적분 식으로 변형합니다.

문제에서 주어진 조건은 $A+C=B$ 입니다.

위에서 구한 정적분 식을 대입하면,

${\int }_0^{\frac{4}{9}}(f(x)-g(x))dx+{\int }_2^k(f(x)-g(x))dx=-{\int }_{\frac{4}{9}}^2(f(x)-g(x))dx$

우변의 항을 좌변으로 이항하면,

${\int }_0^{\frac{4}{9}}(f(x)-g(x))dx+{\int }_{\frac{4}{9}}^2(f(x)-g(x))dx+{\int }_2^k(f(x)-g(x))dx=0$

정적분의 성질에 의해 적분 구간이 이어지므로, 하나의 정적분으로 합칠 수 있습니다.

${\int }_0^k(f(x)-g(x))dx=0$

[함정경고] 각각의 넓이를 따로 구해서 더하려고 하면 계산이 매우 복잡해지고 실수할 확률이 높아집니다. 반드시 정적분의 성질을 이용하여 식을 간단히 한 후 계산해야 합니다.

step4. 정적분을 계산하여 $k$에 대한 방정식을 세우고, 조건에 맞는 $k$의 값을 구합니다.

피적분함수를 정리하면,

$f(x)-g(x)=(3x^2-7x+2)-(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3})=3x^2-\frac{22}{3}x+\frac{8}{3}$

이제 정적분을 계산합니다.

${\int }_0^k(3x^2-\frac{22}{3}x+\frac{8}{3})dx=0$

${[x^3-\frac{11}{3}{x}^2+\frac{8}{3}x]}_0^k=0$

$k^3-\frac{11}{3}{k}^2+\frac{8}{3}k=0$

$k(k^2-\frac{11}{3}k+\frac{8}{3})=0$

문제의 조건에서 $k>2$ 이므로 $k\ne 0$ 입니다. 양변을 $k$로 나누면,

$k^2-\frac{11}{3}k+\frac{8}{3}=0$

양변에 $3$을 곱하면,

$3k^2-11k+8=0$

$(3k-8)(k-1)=0$

따라서 $k=\frac{8}{3}$ 또는 $k=1$ 입니다.

$k>2$ 이므로 조건을 만족하는 값은 $k=\frac{8}{3}$ 입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점 구하기

$3x^2-7x+2=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$

$9x^2-21x+6=x-2$

$9x^2-22x+8=0$

$(9x-4)(x-2)=0$

$x=\frac{4}{9},2$

step2. , 3. 정적분 식으로 변형

$A={\int }_0^{\frac{4}{9}}(f-g)dx$

$B=-{\int }_{\frac{4}{9}}^2(f-g)dx$

$C={\int }_2^k(f-g)dx$

$A+C=B$ 이므로

${\int }_0^{\frac{4}{9}}(f-g)dx+{\int }_2^k(f-g)dx=-{\int }_{\frac{4}{9}}^2(f-g)dx$

${\int }_0^k(f(x)-g(x))dx=0$   --- (정적분의 성질 이용)

step4. k값 계산

${\int }_0^k(3x^2-\frac{22}{3}x+\frac{8}{3})dx=0$

${[x^3-\frac{11}{3}{x}^2+\frac{8}{3}x]}_0^k=0$

$k^3-\frac{11}{3}{k}^2+\frac{8}{3}k=0$

$k(3k^2-11k+8)=0$

$k(3k-8)(k-1)=0$

$k>2$ 이므로 $k=\frac{8}{3}$

$\therefore 정답④$

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