2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 10번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 10번
문제의 분류	고등학교 (로그함수와 그래프)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

실수 $a(a>1)$에 대하여 곡선 $y={\log }_a(x+3)$이 곡선 $y={\log }_a(-x+3)$과 만나는 점을 A, 곡선 $y={\log }_a(x+3)$이 $x$축과 만나는 점을 B, 곡선 $y={\log }_a(-x+3)$이 $x$축과 만나는 점을 C라 하자. 삼각형 ABC가 정삼각형일 때, $a$의 값은? [4점] ① $3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}$ ② $3^{\frac{\sqrt{3}}{4}}$ ③ $3^{\frac{\sqrt{3}}{3}}$ ④ $3^{\frac{5\sqrt{3}}{12}}$ ⑤ $3^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

1. 문제의 요지

이 문제는 로그함수의 그래프의 교점과 $x$절편을 구하고, 이를 통해 만들어진 삼각형이 정삼각형이 될 조건을 이용하여 미지수 $a$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 실수 $a>1$
- 곡선 $y={\log }_a(x+3)$과 곡선 $y={\log }_a(-x+3)$의 교점 A
- 곡선 $y={\log }_a(x+3)$의 $x$절편 B
- 곡선 $y={\log }_a(-x+3)$의 $x$절편 C
- 삼각형 ABC는 정삼각형

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그함수의 교점과 절편을 구하여 세 꼭짓점의 좌표를 찾고, 정삼각형의 성질을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 로그함수의 식을 연립하여 교점 A의 좌표를 구합니다.

step2. 각 로그함수의 $y=0$일 때의 $x$값을 구하여 $x$절편인 점 B와 점 C의 좌표를 구합니다.

step3. 선분 BC의 길이를 구하고, 정삼각형의 높이 공식을 이용하여 점 A의 $y$좌표와 관계식을 세웁니다.

step4. 로그의 정의를 이용하여 $a$의 값을 계산하고 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 정의: $y={\log }_{a}x⟺a^y=x$ (단, $a>0,a\ne 1,x>0$)

- 정삼각형의 높이: 한 변의 길이가 $l$인 정삼각형의 높이 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 로그함수 $y={\log }_a(x+3)$과 $y={\log }_a(-x+3)$은 $y$축에 대하여 대칭인 형태입니다. 따라서 교점은 $y$축 위에 존재하며, $x$절편 또한 원점에 대하여 대칭인 위치에 있게 됩니다. 이를 파악하면 계산을 훨씬 수월하게 할 수 있습니다.

step1. 두 로그함수의 식을 연립하여 교점 A의 좌표를 구합니다.

두 곡선이 만나는 점 A의 $x$좌표를 구하기 위해 두 식을 같다고 놓습니다.

${\log }_a(x+3)={\log }_a(-x+3)$

진수 조건에 의해 $x+3=-x+3$이 성립해야 하므로,

$2x=0⟹x=0$입니다.

$x=0$을 식에 대입하면 $y={\log }_a(0+3)={\log }_{a}3$이 됩니다.

따라서 점 A의 좌표는 $(0,{\log }_{a}3)$입니다.

step2. 각 로그함수의 $y=0$일 때의 $x$값을 구하여 $x$절편인 점 B와 점 C의 좌표를 구합니다.

점 B는 곡선 $y={\log }_a(x+3)$의 $x$절편이므로 $y=0$을 대입합니다.

${\log }_a(x+3)=0⟹x+3=a^0=1⟹x=-2$

따라서 점 B의 좌표는 $(-2,0)$입니다.

점 C는 곡선 $y={\log }_a(-x+3)$의 $x$절편이므로 $y=0$을 대입합니다.

${\log }_a(-x+3)=0⟹-x+3=a^0=1⟹x=2$

따라서 점 C의 좌표는 $(2,0)$입니다.

step3. 선분 BC의 길이를 구하고, 정삼각형의 높이 공식을 이용하여 점 A의 $y$좌표와 관계식을 세웁니다.

점 B$(-2,0)$와 점 C$(2,0)$ 사이의 거리는 선분 BC의 길이입니다.

$\overline{BC}=2-(-2)=4$

삼각형 ABC가 정삼각형이라고 했으므로, 한 변의 길이가 4인 정삼각형입니다.

[함정경고] 여기서 점 A와 점 B 사이의 거리 공식을 사용하여 식을 세울 수도 있지만, 계산이 복잡해질 수 있습니다. 점 A가 $y$축 위에 있고 선분 BC가 $x$축 위에 있으므로, 정삼각형의 높이를 이용하는 것이 훨씬 간단합니다.

한 변의 길이가 4인 정삼각형의 높이 $h$는 다음과 같습니다.

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4=2\sqrt{3}$

점 A의 $y$좌표가 바로 이 삼각형의 높이에 해당하므로,

${\log }_{a}3=2\sqrt{3}$이 성립합니다.

step4. 로그의 정의를 이용하여 $a$의 값을 계산하고 정답을 도출합니다.

${\log }_{a}3=2\sqrt{3}$을 지수 형태로 바꿉니다.

$a^{2\sqrt{3}}=3$

양변을 $\frac{1}{2\sqrt{3}}$제곱하여 $a$를 구합니다.

$a=3^{\frac{1}{2\sqrt{3}}}=3^{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}·\sqrt{3}}}=3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}$

따라서 $a$의 값은 $3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}$이며, 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점 A 구하기

${\log }_a(x+3)={\log }_a(-x+3)$

$x+3=-x+3⟹2x=0⟹x=0$

$y={\log }_{a}3$

$\therefore A(0,{\log }_{a}3)$

step2. x절편 B, C 구하기

${\log }_a(x+3)=0⟹x+3=1⟹x=-2$

$\therefore B(-2,0)$

${\log }_a(-x+3)=0⟹-x+3=1⟹x=2$

$\therefore C(2,0)$

step3. 정삼각형 조건 적용

$\overline{BC}=2-(-2)=4$

---(정삼각형의 높이 공식을 이용)

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4=2\sqrt{3}$

점 A의 y좌표가 높이이므로,

${\log }_{a}3=2\sqrt{3}$

step4. a의 값 계산

$a^{2\sqrt{3}}=3$

$a=3^{\frac{1}{2\sqrt{3}}}=3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}$

$\therefore 정답①$

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