2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 9번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 9번
문제의 분류	고등학교 (정적분)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=x^2+ax$에 대하여 ${\int }_{-3}^3(x+1)f(x)dx=36+{\int }_{-3}^{3}f(x)dx$ 일 때, 상수 $a$의 값은? [4점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 정적분의 성질과 우함수, 기함수의 정적분 성질을 이용하여 미지수 $a$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)=x^2+ax$
- ${\int }_{-3}^3(x+1)f(x)dx=36+{\int }_{-3}^{3}f(x)dx$

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분의 선형성과 우함수/기함수의 정적분 성질을 이용하여 식을 간단히 한 후 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 정적분 식의 좌변을 전개하여 양변의 공통항을 소거합니다.

step2. 소거 후 남은 식에 $f(x)$를 대입하여 피적분함수를 구합니다.

step3. 적분 구간이 대칭임을 이용하여 기함수 항을 제거하고 우함수 항만 적분하여 $a$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분의 선형성: $\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

- 우함수와 기함수의 정적분: 적분 구간이 $[-a,a]$일 때, 기함수(홀수차항)의 정적분은 0이고, 우함수(짝수차항)의 정적분은 $2{\int }_0^{a}f(x)dx$와 같다.

5. 구체적 풀이

step1. 주어진 정적분 식의 좌변을 전개하여 양변의 공통항을 소거합니다.

주어진 식은 ${\int }_{-3}^3(x+1)f(x)dx=36+{\int }_{-3}^{3}f(x)dx$ 입니다.

좌변의 피적분함수를 전개하면 $(x+1)f(x)=xf(x)+f(x)$ 가 됩니다.

정적분의 성질에 의해 좌변을 두 개의 적분으로 분리할 수 있습니다.

${\int }_{-3}^{3}xf(x)dx+{\int }_{-3}^{3}f(x)dx=36+{\int }_{-3}^{3}f(x)dx$

양변에 공통으로 있는 ${\int }_{-3}^{3}f(x)dx$ 를 소거하면 다음과 같이 간단해집니다.

${\int }_{-3}^{3}xf(x)dx=36$

step2. 소거 후 남은 식에 $f(x)$를 대입하여 피적분함수를 구합니다.

문제에서 $f(x)=x^2+ax$ 라고 주어졌으므로, 이를 위 식에 대입합니다.

$xf(x)=x(x^2+ax)=x^3+a{x}^2$

따라서 적분 식은 다음과 같이 됩니다.

${\int }_{-3}^3(x^3+a{x}^2)dx=36$

step3. 적분 구간이 대칭임을 이용하여 기함수 항을 제거하고 우함수 항만 적분하여 $a$의 값을 계산합니다.

[키포인트] 적분 구간이 $[-3,3]$ 으로 원점에 대하여 대칭일 때, 홀수차항(기함수)의 정적분은 0이 되고, 짝수차항(우함수)의 정적분은 0부터 3까지의 정적분의 2배가 됩니다.

$x^3$ 은 홀수차항이므로 ${\int }_{-3}^3{x}^{3}dx=0$ 입니다.

$a{x}^2$ 은 짝수차항이므로 ${\int }_{-3}^{3}a{x}^{2}dx=2{\int }_0^{3}a{x}^{2}dx$ 입니다.

이를 적용하면 식은 다음과 같이 간단해집니다.

$2{\int }_0^{3}a{x}^{2}dx=36$

양변을 2로 나누면,

${\int }_0^{3}a{x}^{2}dx=18$

이제 정적분을 계산합니다.

${\left[\frac{a}{3}{x}^3\right]}_0^3=\frac{a}{3}\times 3^3-0=\frac{a}{3}\times 27=9a$

따라서 $9a=18$ 이 성립합니다.

양변을 9로 나누면 $a=2$ 가 됩니다.

[함정경고] 좌변을 전개하지 않고 $f(x)$를 바로 대입하여 계산하면 식이 매우 복잡해져 계산 실수를 하기 쉽습니다. 정적분의 성질을 이용하여 식을 먼저 간단히 하는 것이 중요합니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 간단히 하기

${\int }_{-3}^3(x+1)f(x)dx=36+{\int }_{-3}^{3}f(x)dx$

${\int }_{-3}^{3}xf(x)dx+{\int }_{-3}^{3}f(x)dx=36+{\int }_{-3}^{3}f(x)dx$

${\int }_{-3}^{3}xf(x)dx=36$

step2. f(x) 대입

${\int }_{-3}^{3}x(x^2+ax)dx=36$

${\int }_{-3}^3(x^3+a{x}^2)dx=36$

step3. 대칭 구간 적분

$2{\int }_0^{3}a{x}^{2}dx=36$   --- (기함수 $x^3$ 적분은 0)

${\int }_0^{3}a{x}^{2}dx=18$

${\left[\frac{a}{3}{x}^3\right]}_0^3=18$

$9a=18$

$a=2$

$\therefore 정답:②$

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