2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 8번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 8번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

$\sin (\pi -\theta )>0$이고 $2\cos \theta =\sin \theta$일 때, $\cos \theta$의 값은? [3점] ① $-\frac{\sqrt{5}}{5}$ ② $-\frac{\sqrt{5}}{10}$ ③ $0$ ④ $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ⑤ $\frac{\sqrt{5}}{5}$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 사분면을 찾고, 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 특정 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\sin (\pi -\theta )>0$
- $2\cos \theta =\sin \theta$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 각의 변환과 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $\sin (\pi -\theta )$를 간단히 하여 $\sin \theta$의 부호를 알아냅니다.

step2. $2\cos \theta =\sin \theta$를 이용하여 $\tan \theta$의 값을 구하고, $\theta$가 몇 사분면의 각인지 판단합니다.

step3. 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 $\cos \theta$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 각의 변환: $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$

- 삼각함수 사이의 관계: $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$, ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수의 각의 변환 성질을 이용하여 주어진 식을 간단히 하고, $\sin \theta$와 $\cos \theta$의 부호를 통해 $\theta$가 속한 사분면을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 먼저 주어진 부등식 조건을 간단히 해봅시다.

삼각함수의 성질에 의해 $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$입니다.

따라서 $\sin (\pi -\theta )>0$이라는 조건은 $\sin \theta >0$과 같습니다.

step2. 다음으로 주어진 등식 조건을 살펴봅시다.

$2\cos \theta =\sin \theta$에서 양변을 $\cos \theta$로 나누면,

$\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=2$가 됩니다.

$\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\tan \theta$이므로, $\tan \theta =2$입니다.

[함정경고] 여기서 $\cos \theta$로 나눌 때 $\cos \theta =0$일 가능성을 확인해야 합니다. 만약 $\cos \theta =0$이라면 주어진 식에서 $\sin \theta =0$이 되는데, 이는 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$이라는 절대적인 성질에 위배되므로 $\cos \theta \ne 0$임이 보장됩니다.

이제 $\theta$가 몇 사분면의 각인지 판단해 봅시다.

step1. 에서 $\sin \theta >0$임을 알았고, step2에서 $\tan \theta =2>0$임을 알았습니다.

사인과 탄젠트가 모두 양수인 사분면은 제1사분면뿐입니다.

따라서 $\theta$는 제1사분면의 각이며, 제1사분면에서는 코사인 값도 양수이므로 $\cos \theta >0$입니다.

step3. 마지막으로 $\cos \theta$의 값을 계산합니다.

$\tan \theta =2$이므로, 밑변의 길이가 1이고 높이가 2인 직각삼각형을 떠올려 볼 수 있습니다.

피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$가 됩니다.

따라서 $\cos \theta =\frac{\text{밑변}}{\text{빗변}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$입니다.

분모를 유리화하면 $\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{5}$가 됩니다.

(또는 삼각함수 공식 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용할 수도 있습니다.

$2\cos \theta =\sin \theta$를 대입하면 $(2\cos \theta {)}^2+\cos {\theta }^2=1$

$4{\cos }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

$5{\cos }^2\theta =1$

${\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$

$\cos \theta >0$이므로 $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$입니다.)

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. $\sin \theta$ 부호 확인

$\sin (\pi -\theta )=\sin \theta >0$

step2. $\tan \theta$ 값 및 사분면 확인

$2\cos \theta =\sin \theta$

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=2>0$

$\sin \theta >0,\tan \theta >0$ 이므로 $\theta$는 제1사분면 각 $\Rightarrow \cos \theta >0$

step3. $\cos \theta$ 계산

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 에 대입하면

$(2\cos \theta {)}^2+{\cos }^2\theta =1$

$5{\cos }^2\theta =1$

${\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$

$\cos \theta >0$ 이므로

$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\therefore ⑤$

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