2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 6번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 6번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

6. 두 양수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f(x)=a\cos bx+1$의 최댓값이 8이고 주기가 $\pi$일 때, $a+b$의 값은? [3점] ① $\frac{15}{2}$ ② $8$ ③ $\frac{17}{2}$ ④ $9$ ⑤ $\frac{19}{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 최댓값과 주기를 결정하는 계수의 역할을 이해하고 이를 이용하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 두 양수 $a$, $b$
- 함수 $f(x)=a\cos bx+1$
- 최댓값이 8
- 주기가 $\pi$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 기본 성질을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 함수의 최댓값 조건을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

step2. 함수의 주기 조건을 이용하여 $b$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 최댓값과 최솟값: 함수 $y=a\cos (bx+c)+d$ ($a>0$)의 최댓값은 $a+d$, 최솟값은 $-a+d$이다.

- 삼각함수의 주기: 함수 $y=a\cos (bx+c)+d$ ($b>0$)의 주기는 $\frac{2\pi }{b}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수 $y=a\cos bx+d$에서 $a$는 진폭(최댓값/최솟값)을, $b$는 주기를 결정한다는 사실을 기억해야 합니다.

step1. 함수의 최댓값 조건을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

주어진 함수는 $f(x)=a\cos bx+1$입니다.

코사인 함수 $\cos bx$는 항상 $-1$ 이상 $1$ 이하의 값을 가집니다. ($-1\le \cos bx\le 1$)

문제에서 $a$가 양수라고 했으므로, $f(x)$의 최댓값은 $\cos bx$가 $1$일 때 발생합니다.

따라서 $f(x)$의 최댓값은 $a\times 1+1=a+1$이 됩니다.

문제의 조건에서 최댓값이 $8$이라고 주어졌으므로, 다음 식을 세울 수 있습니다.

$a+1=8$

이를 풀면 $a=7$이 됩니다.

step2. 함수의 주기 조건을 이용하여 $b$의 값을 구합니다.

함수 $y=\cos x$의 기본 주기는 $2\pi$입니다.

함수 $y=\cos bx$의 주기는 기본 주기를 $x$의 계수인 $b$의 절댓값으로 나눈 값, 즉 $\frac{2\pi }{|b|}$가 됩니다.

문제에서 $b$가 양수라고 했으므로, 주기는 $\frac{2\pi }{b}$입니다.

문제의 조건에서 주기가 $\pi$라고 주어졌으므로, 다음 식을 세울 수 있습니다.

$\frac{2\pi }{b}=\pi$

양변을 $\pi$로 나누고 정리하면 $b=2$가 됩니다.

[함정경고] $a$와 $b$가 양수라는 조건을 놓치면 절댓값 기호를 처리할 때 실수를 할 수 있습니다. 문제에 주어진 '양수' 조건을 반드시 확인하세요.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

앞서 구한 값은 $a=7$, $b=2$입니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 $a+b$의 값은 다음과 같습니다.

$a+b=7+2=9$

보기 중에서 $9$는 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 최댓값 조건

$a>0$이므로

$a+1=8$

$a=7$

step2. 주기 조건

$b>0$이므로

$\frac{2\pi }{b}=\pi$

$b=2$

step3. 정답 도출

$\therefore a+b=7+2=9$

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