2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 5번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 5번
문제의 분류	고등학교 (다항함수의 정적분)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

5. ${\int }_0^2(6x^2-2x+1)dx$의 값은? [3점] ① 12 ② 14 ③ 16 ④ 18 ⑤ 20

1. 문제의 요지

이 문제는 다항함수의 부정적분을 구하고, 위끝과 아래끝을 대입하여 정적분의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 피적분함수: $f(x)=6x^2-2x+1$
- 적분 구간: $[0,2]$

3. 풀이의 순서

이 문제는 다항함수의 부정적분을 구한 후 정적분의 기본 정리를 이용하여 값을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 피적분함수의 부정적분을 구합니다.

step2. 정적분의 기본 정리를 이용하여 위끝과 아래끝을 대입하여 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항함수의 부정적분: $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$ (단, $n\ne -1$)

- 정적분의 기본 정리: ${\int }_a^{b}f(x)dx={[F(x)]}_a^b=F(b)-F(a)$ (단, $F^{\prime }(x)=f(x)$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항함수의 각 항별로 부정적분을 구한 뒤, 위끝과 아래끝을 대입하여 차이를 구하는 것이 정적분 계산의 핵심입니다.

step1. 피적분함수의 부정적분을 구합니다.

주어진 피적분함수는 $6x^2-2x+1$입니다.

각 항의 부정적분을 구하면 다음과 같습니다.

$\int 6x^{2}dx=6\times \frac{1}{3}{x}^3=2x^3$

$\int -2xdx=-2\times \frac{1}{2}{x}^2=-x^2$

$\int 1dx=x$

따라서 부정적분은 $2x^3-x^2+x$가 됩니다.

step2. 정적분의 기본 정리를 이용하여 위끝과 아래끝을 대입하여 값을 계산합니다.

적분 구간이 $0$부터 $2$까지이므로, 구한 부정적분에 위끝 $2$와 아래끝 $0$을 대입하여 계산합니다.

${\int }_0^2(6x^2-2x+1)dx={[2x^3-x^2+x]}_0^2$

위끝 $x=2$를 대입한 값:

$2(2{)}^3-(2{)}^2+2=2(8)-4+2=16-4+2=14$

아래끝 $x=0$을 대입한 값:

$2(0{)}^3-(0{)}^2+0=0$

[함정경고] 아래끝이 0일 때 다항함수의 정적분 값은 0이 되지만, 상수항이나 지수함수 등이 포함된 경우에는 0이 아닐 수 있으므로 항상 대입하여 확인하는 습관을 가져야 합니다.

두 값의 차이를 구하면:

$14-0=14$

따라서 정적분의 값은 $14$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 부정적분 계산

${\int }_0^2(6x^2-2x+1)dx$

$={[2x^3-x^2+x]}_0^2$

step2. 위끝, 아래끝 대입

$=(2·2^3-2^2+2)-0$

$=16-4+2$

$=14$

$\therefore 정답:②$

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