2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 2번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 2번
문제의 분류	고등학교 (미분)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

곡선 $y=x^3+2x-1$ 위의 점 $(1,2)$에서의 접선의 기울기는? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 다항함수의 미분법을 이용하여 주어진 점에서의 접선의 기울기를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 곡선의 방정식: $y=x^3+2x-1$
- 접점의 좌표: $(1,2)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 다항함수의 도함수를 구하고, 특정 $x$ 값에서의 미분계수를 계산하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 곡선의 방정식을 미분하여 도함수를 구합니다.

step2. 도함수에 접점의 $x$ 좌표를 대입하여 접선의 기울기를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항함수의 미분법: $f(x)=x^n$ (단, $n$은 자연수)일 때, $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$이다.

- 미분계수의 기하학적 의미: 함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 기울기는 $x=a$에서의 미분계수 $f^{\prime }(a)$와 같다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기는 그 점의 $x$좌표에서의 미분계수와 같습니다.

step1. 주어진 곡선의 방정식을 미분하여 도함수를 구합니다.

주어진 곡선의 방정식을 $f(x)=x^3+2x-1$이라고 합시다.

다항함수의 미분법을 이용하여 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구하면 다음과 같습니다.

$f^{\prime }(x)=3x^2+2$

step2. 도함수에 접점의 $x$ 좌표를 대입하여 접선의 기울기를 계산합니다.

우리가 구하고자 하는 것은 점 $(1,2)$에서의 접선의 기울기입니다.

이는 $x=1$에서의 미분계수 $f^{\prime }(1)$과 같으므로, 앞서 구한 도함수에 $x=1$을 대입합니다.

$f^{\prime }(1)=3(1{)}^2+2=3+2=5$

[함정경고] 접선의 기울기를 구할 때, 도함수에 대입해야 하는 값은 접점의 $y$좌표가 아니라 $x$좌표입니다. $x=1$을 대입해야 함을 잊지 마세요.

따라서 점 $(1,2)$에서의 접선의 기울기는 5입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 도함수 구하기

$f(x)=x^3+2x-1$

$f^{\prime }(x)=3x^2+2$

step2. 접선의 기울기 계산

$f^{\prime }(1)=3(1{)}^2+2=5$   --- (점 $(1,2)$에서의 접선의 기울기는 $x=1$에서의 미분계수이므로)

$\therefore 5$

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