2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 5번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 5번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

원점을 지나는 곡선 $y=2^{x-a}+b$의 점근선이 직선 $y=-4$ 일 때, $a+b$의 값은? (단, $a$와 $b$는 상수이다.) ① -6 ② -4 ③ -2 ④ 0 ⑤ 2

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 점근선의 방정식과 그래프가 지나는 점의 좌표를 이용하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 곡선 $y=2^{x-a}+b$는 원점 $(0,0)$을 지난다.
- 곡선 $y=2^{x-a}+b$의 점근선은 직선 $y=-4$ 이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수함수의 점근선의 성질을 이용하여 $b$를 구하고, 지나는 점의 좌표를 대입하여 $a$를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 지수함수의 점근선의 방정식을 이용하여 상수 $b$의 값을 구합니다.

step2. 곡선이 원점을 지난다는 조건을 이용하여 상수 $a$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수함수의 점근선: 함수 $y=a^{x-p}+q$ (단, $a>0,a\ne 1$)의 점근선의 방정식은 $y=q$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 지수함수 $y=a^{x-p}+q$의 점근선은 $y=q$임을 이용하는 것이 핵심입니다.

step1. 지수함수의 점근선의 방정식을 이용하여 상수 $b$의 값을 구합니다.

주어진 곡선의 방정식은 $y=2^{x-a}+b$입니다.

이 지수함수의 점근선의 방정식은 $y=b$가 됩니다.

문제에서 점근선이 직선 $y=-4$라고 주어졌으므로, $b=-4$임을 알 수 있습니다.

따라서 곡선의 방정식은 $y=2^{x-a}-4$가 됩니다.

step2. 곡선이 원점을 지난다는 조건을 이용하여 상수 $a$의 값을 구합니다.

곡선 $y=2^{x-a}-4$가 원점 $(0,0)$을 지나므로, $x=0,y=0$을 대입합니다.

$0=2^{0-a}-4$

$2^{-a}=4$

$4$는 $2^2$이므로,

$2^{-a}=2^2$

지수끼리 비교하면 $-a=2$가 되어, $a=-2$입니다.

[함정경고] 지수방정식을 풀 때 부호를 헷갈려 $a=2$로 착각하기 쉬우니 주의해야 합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

$a=-2$, $b=-4$이므로

$a+b=-2+(-4)=-6$입니다.

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 점근선 확인

$y=2^{x-a}+b$의 점근선은 $y=b$

$b=-4$

step2. 원점 대입

$y=2^{x-a}-4$가 $(0,0)$을 지나므로

$0=2^{-a}-4$

$2^{-a}=4=2^2$

$-a=2⟹a=-2$

step3. 정답 도출

$a+b=-2-4=-6$

$\therefore ①$

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