2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 7번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 7번
문제의 분류	고등학교 (수학 II - 정적분으로 정의된 함수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

7. 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 ${\int }_a^{x}f(t)dt=x^2-3ax+2$ 를 만족시킨다. $f(0)>0$ 일 때, $f(2)$의 값은? (단, $a$는 상수이다.) ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7

1. 문제의 요지

이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 양변을 미분하여 피적분함수를 구하고, 적분 구간의 위끝과 아래끝을 같게 만들어 미지수를 구하는 방법을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항함수 $f(x)$
- 모든 실수 $x$에 대하여 ${\int }_a^{x}f(t)dt=x^2-3ax+2$
- $f(0)>0$
- $a$는 상수

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 성질을 이용하여 미지수를 구하고 함수식을 완성하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 등식의 양변에 $x=a$를 대입하여 $a$에 대한 방정식을 세우고 $a$의 값을 구합니다.

step2. 주어진 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하여 $f(x)$의 식을 구합니다.

step3. 조건 $f(0)>0$을 이용하여 step1에서 구한 $a$의 값 중 알맞은 것을 선택합니다.

step4. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=2$를 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$ (단, $f(t)$는 연속함수, $a$는 상수)

- 정적분의 성질: ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 정적분으로 정의된 함수가 포함된 등식은 양변을 미분하거나, 적분 구간의 위끝과 아래끝이 같아지도록 $x$에 적절한 값을 대입하는 것이 핵심입니다.

step1. $x=a$ 대입하여 $a$ 값 구하기

주어진 등식 ${\int }_a^{x}f(t)dt=x^2-3ax+2$ 의 양변에 $x=a$를 대입합니다.

좌변은 ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$ 이 되므로,

$0=a^2-3a(a)+2$

$0=-2a^2+2$

$2a^2=2$

$a^2=1$

따라서 $a=1$ 또는 $a=-1$ 입니다.

step2. 양변 미분하여 $f(x)$ 구하기

주어진 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분합니다.

$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=\frac{d}{dx}(x^2-3ax+2)$

$f(x)=2x-3a$

step3. 조건 $f(0)>0$을 이용하여 $a$ 값 확정하기

문제의 조건에서 $f(0)>0$ 이라고 했습니다.

step2. 에서 구한 $f(x)$ 식에 $x=0$을 대입하면,

$f(0)=2(0)-3a=-3a$

즉, $-3a>0$ 이므로 $a<0$ 이어야 합니다.

[함정경고] 여기서 $a$의 부호를 확인하지 않고 임의로 $a=1$을 선택하면 오답이 나오므로 주의해야 합니다.

step1. 에서 구한 $a=1,-1$ 중 $a<0$ 인 값은 $a=-1$ 입니다.

step4. $f(2)$ 값 구하기

$a=-1$ 을 $f(x)$ 식에 대입하여 함수를 완성합니다.

$f(x)=2x-3(-1)=2x+3$

이제 구하고자 하는 $f(2)$의 값을 계산합니다.

$f(2)=2(2)+3=4+3=7$

따라서 $f(2)$의 값은 7입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. x=a 대입

${\int }_a^{a}f(t)dt=a^2-3a^2+2=0$

$-2a^2+2=0⟹a^2=1⟹a=\pm 1$

step2. 양변 미분

$f(x)=2x-3a$

step3. 조건 확인

$f(0)=-3a>0⟹a<0$

$\therefore a=-1$

step4. f(2) 계산

$f(x)=2x+3$

$f(2)=2(2)+3=7$

$\therefore 7$

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