2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 9번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 9번
문제의 분류	고등학교 (미분계수와 도함수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x)=(x^2+x)f(x)$ 라 하자. ${lim}_{h\to 0}\frac{g(1+h)-4}{h}=9$일 때, $f(1)\times f^{\prime }(1)$의 값은? [4점] ① 3 ② $\frac{9}{2}$ ③ 6 ④ $\frac{15}{2}$ ⑤ 9

1. 문제의 요지

이 문제는 미분계수의 정의와 함수의 곱의 미분법을 이용하여 주어진 극한값으로부터 함숫값과 미분계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항함수 $f(x)$
- $g(x)=(x^2+x)f(x)$
- ${lim}_{h\to 0}\frac{g(1+h)-4}{h}=9$

3. 풀이의 순서

이 문제는 미분계수의 정의를 이용하여 $g(1)$과 $g^{\prime }(1)$의 값을 구한 후, 곱의 미분법을 적용하여 $f(1)$과 $f^{\prime }(1)$을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 극한의 성질을 이용하여 $g(1)$의 값을 구하고, 이를 통해 $f(1)$의 값을 계산합니다.

step2. 미분계수의 정의를 이용하여 $g^{\prime }(1)$의 값을 구합니다.

step3. 곱의 미분법을 이용하여 $g^{\prime }(x)$를 구하고, $x=1$을 대입하여 $f^{\prime }(1)$의 값을 계산합니다.

step4. $f(1)\times f^{\prime }(1)$의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 미분계수의 정의: 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, $f^{\prime }(a)={lim}_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$이다.

- 함수의 극한의 성질: ${lim}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$ (단, $L$은 실수)이고 ${lim}_{x\to a}g(x)=0$이면 ${lim}_{x\to a}f(x)=0$이다.

- 곱의 미분법: 두 함수 $f(x),g(x)$가 미분가능할 때, $\{f(x)g(x){\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$이다.

5. 구체적 풀이

step1. 극한의 성질을 이용하여 $g(1)$과 $f(1)$ 구하기

주어진 극한식 ${lim}_{h\to 0}\frac{g(1+h)-4}{h}=9$에서 $h\to 0$일 때 분모가 $0$으로 수렴하고 극한값이 존재하므로, 분자도 $0$으로 수렴해야 합니다.

즉, ${lim}_{h\to 0}\{g(1+h)-4\}=0$입니다.

$g(x)$는 다항함수이므로 연속함수입니다. 따라서 극한값과 함숫값이 같으므로 $g(1)-4=0$, 즉 $g(1)=4$입니다.

주어진 식 $g(x)=(x^2+x)f(x)$에 $x=1$을 대입하면,

$g(1)=(1^2+1)f(1)=2f(1)$이 됩니다.

$g(1)=4$이므로 $2f(1)=4$에서 $f(1)=2$입니다.

step2. 미분계수의 정의를 이용하여 $g^{\prime }(1)$ 구하기

[키포인트] 극한식의 분자에 있는 $4$를 $g(1)$로 바꾸어 미분계수의 형태를 만드는 것이 핵심입니다.

${lim}_{h\to 0}\frac{g(1+h)-4}{h}={lim}_{h\to 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}$로 쓸 수 있습니다.

이는 미분계수의 정의에 의해 $g^{\prime }(1)$과 같습니다.

따라서 $g^{\prime }(1)=9$입니다.

step3. 곱의 미분법을 이용하여 $f^{\prime }(1)$ 구하기

$g(x)=(x^2+x)f(x)$의 양변을 $x$에 대하여 미분합니다.

[함정경고] 곱의 미분법을 적용할 때 앞의 식을 미분하고 뒤의 식을 곱한 것과, 앞의 식을 곱하고 뒤의 식을 미분한 것을 더해야 합니다. 한쪽만 미분하는 실수를 하지 않도록 주의하세요.

$g^{\prime }(x)=(x^2+x{)}^{\prime }f(x)+(x^2+x)f^{\prime }(x)$

$g^{\prime }(x)=(2x+1)f(x)+(x^2+x)f^{\prime }(x)$

이 식에 $x=1$을 대입하면,

$g^{\prime }(1)=(2·1+1)f(1)+(1^2+1)f^{\prime }(1)$

$g^{\prime }(1)=3f(1)+2f^{\prime }(1)$

앞서 구한 $g^{\prime }(1)=9$와 $f(1)=2$를 대입하면,

$9=3\times 2+2f^{\prime }(1)$

$9=6+2f^{\prime }(1)$

$2f^{\prime }(1)=3$

$f^{\prime }(1)=\frac{3}{2}$입니다.

step4. 정답 도출

구하고자 하는 값은 $f(1)\times f^{\prime }(1)$이므로,

$f(1)\times f^{\prime }(1)=2\times \frac{3}{2}=3$입니다.

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. $g(1)$과 $f(1)$ 구하기

${lim}_{h\to 0}\frac{g(1+h)-4}{h}=9$ 에서 분모 $\to 0$ 이므로 분자 $\to 0$

$g(1)-4=0⟹g(1)=4$

$g(1)=(1^2+1)f(1)=2f(1)=4⟹f(1)=2$

step2. $g^{\prime }(1)$ 구하기

${lim}_{h\to 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=g^{\prime }(1)=9$

step3. $f^{\prime }(1)$ 구하기

$g^{\prime }(x)=(2x+1)f(x)+(x^2+x)f^{\prime }(x)$   --- (곱의 미분법 이용)

$g^{\prime }(1)=3f(1)+2f^{\prime }(1)$

$9=3(2)+2f^{\prime }(1)$

$2f^{\prime }(1)=3⟹f^{\prime }(1)=\frac{3}{2}$

step4. 정답 도출

$f(1)\times f^{\prime }(1)=2\times \frac{3}{2}=3$

$\therefore 정답:①$

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