2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 10번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 10번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

10. 각 $A$가 예각인 삼각형 $ABC$가 다음 조건을 만족시킬 때, 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이는? [4점] (가) $\overline{AB}=4$, $\overline{AC}=15$ (나) 삼각형 $ABC$의 넓이는 24이다. ① $\frac{15}{2}$ ② $\frac{65}{8}$ ③ $\frac{35}{4}$ ④ $\frac{75}{8}$ ⑤ $10$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 $\sin A$를 구하고, 코사인법칙으로 대변의 길이를 구한 뒤, 사인법칙을 통해 외접원의 반지름을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 각 $A$는 예각 ($0<A<\frac{\pi }{2}$)
- $\overline{AB}=c=4$
- $\overline{AC}=b=15$
- 삼각형 $ABC$의 넓이 $S=24$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각형의 넓이 공식, 코사인법칙, 사인법칙을 순차적으로 적용하여 외접원의 반지름을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 $\sin A$의 값을 구합니다.

step2. 각 $A$가 예각이라는 조건을 이용하여 $\cos A$의 값을 구합니다.

step3. 코사인법칙을 이용하여 변 $BC$의 길이를 구합니다.

step4. 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이 $b,c$와 그 끼인가각 $A$가 주어졌을 때, 삼각형의 넓이 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$이다.

- 코사인법칙: 삼각형 $ABC$에서 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$가 성립한다.

- 사인법칙: 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A}=2R$이 성립한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각형의 넓이로 끼인각의 사인값을 구하고, 코사인법칙으로 마주보는 변의 길이를 찾은 뒤, 사인법칙으로 외접원의 반지름을 구하는 전형적인 삼각함수 활용 문제입니다.

step1. 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 $\sin A$의 값을 구합니다.

주어진 조건에서 $\overline{AB}=4$, $\overline{AC}=15$이고 삼각형 $ABC$의 넓이가 24이므로,

삼각형의 넓이 공식 $S=\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times \overline{AC}\times \sin A$에 대입하면,

$24=\frac{1}{2}\times 4\times 15\times \sin A$

$24=30\sin A$

$\sin A=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$ 입니다.

step2. 각 $A$가 예각이라는 조건을 이용하여 $\cos A$의 값을 구합니다.

[함정경고] 각 $A$가 예각인지 둔각인지에 따라 $\cos A$의 부호가 달라지므로, 문제의 '각 $A$가 예각'이라는 조건을 놓치지 않도록 주의해야 합니다.

각 $A$가 예각이므로 $\cos A>0$ 입니다.

${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 이므로,

${\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A=1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$

따라서 $\cos A=\frac{3}{5}$ 입니다.

step3. 코사인법칙을 이용하여 변 $BC$의 길이를 구합니다.

삼각형 $ABC$에서 코사인법칙을 적용하면,

${\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2\times \overline{AB}\times \overline{AC}\times \cos A$

${\overline{BC}}^2=4^2+{15}^2-2\times 4\times 15\times \frac{3}{5}$

${\overline{BC}}^2=16+225-120\times \frac{3}{5}$

${\overline{BC}}^2=241-72=169$

길이는 양수이므로 $\overline{BC}=13$ 입니다.

step4. 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구합니다.

삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름을 $R$이라 하면, 사인법칙에 의해

$\frac{\overline{BC}}{\sin A}=2R$ 이 성립합니다.

앞서 구한 값들을 대입하면,

$\frac{13}{\frac{4}{5}}=2R$

$13\times \frac{5}{4}=2R$

$\frac{65}{4}=2R$

따라서 $R=\frac{65}{8}$ 입니다.

정답은 ②번입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 넓이 공식으로 sin A 구하기

$S=\frac{1}{2}·4·15·\sin A=24$

$30\sin A=24⟹\sin A=\frac{4}{5}$

step2. cos A 구하기

$A$가 예각이므로 $\cos A>0$

$\cos A=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$

step3. 코사인법칙으로 BC 구하기

${\overline{BC}}^2=4^2+{15}^2-2·4·15·\frac{3}{5}$

$=16+225-72=169$

$\overline{BC}=13$

step4. 사인법칙으로 외접원 반지름 R 구하기

$2R=\frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{13}{\frac{4}{5}}=\frac{65}{4}$

$\therefore R=\frac{65}{8}$

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