2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 11번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 11번
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

11. 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $a_n$에 대하여 $a_1$의 값의 합은? [4점] (가) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}=\{\begin{array}{cc}-2a_n\hfill & (a_n<0)\hfill \\ a_n-3\hfill & (a_n\ge 0)\hfill \end{array}$ 이다. (나) $a_3=a_1+4$ ① $-\frac{2}{3}$ ② $-1$ ③ $-\frac{4}{3}$ ④ $-\frac{5}{3}$ ⑤ $-2$

1. 문제의 요지

이 문제는 수열의 귀납적 정의를 이해하고, 조건에 따라 경우를 나누어 초기항 $a_1$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 모든 자연수 n에 대하여 $a_{n+1}=\{\begin{array}{cc}-2a_n\hfill & (a_n<0)\hfill \\ a_n-3\hfill & (a_n\ge 0)\hfill \end{array}$
- $a_3=a_1+4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열의 귀납적 정의에 따라 $a_1$의 범위를 나누어 $a_3$를 $a_1$에 대한 식으로 나타내어 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $a_1<0$인 경우, $a_2$와 $a_3$를 구하여 $a_1$의 값을 찾습니다.

step2. $a_1\ge 0$인 경우, $a_2$의 부호에 따라 다시 경우를 나누어 $a_3$를 구하고 $a_1$의 값을 찾습니다.

step3. 구한 $a_1$의 값들이 각각의 가정(조건)을 만족하는지 확인하고, 모든 $a_1$의 값의 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 귀납적 정의: 이전 항의 값에 따라 다음 항이 결정되는 규칙을 이용하여 항들을 순차적으로 구합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 수열의 귀납적 정의가 조건에 따라 다르게 주어졌을 때는, 첫째항 $a_1$의 부호부터 시작하여 차근차근 경우를 나누어 다음 항을 구하는 것이 핵심입니다.

주어진 조건 (가)에 따라 $a_1$의 부호에 따라 경우를 나누어 $a_2$, $a_3$를 구해봅시다.

step1. $a_1<0$인 경우

$a_1<0$이므로 조건 (가)의 첫 번째 식을 적용합니다.

$a_2=-2a_1$

이때 $a_1<0$이므로 $-2a_1>0$, 즉 $a_2>0$이 됩니다.

따라서 $a_3$를 구할 때는 조건 (가)의 두 번째 식을 적용합니다.

$a_3=a_2-3=-2a_1-3$

조건 (나)에서 $a_3=a_1+4$라고 했으므로, 두 식을 같다고 놓습니다.

$-2a_1-3=a_1+4$

$-3a_1=7$

$a_1=-\frac{7}{3}$

이 값은 처음에 가정한 $a_1<0$ 조건을 만족하므로 올바른 해입니다.

step2. $a_1\ge 0$인 경우

$a_1\ge 0$이므로 조건 (가)의 두 번째 식을 적용합니다.

$a_2=a_1-3$

이제 $a_3$를 구하기 위해 $a_2$의 부호를 알아야 하는데, $a_1$의 값에 따라 $a_2$의 부호가 달라지므로 다시 경우를 나눕니다.

(1) $a_2<0$인 경우

$a_1-3<0$이므로 $0\le a_1<3$입니다.

$a_2<0$이므로 조건 (가)의 첫 번째 식을 적용합니다.

$a_3=-2a_2=-2(a_1-3)=-2a_1+6$

조건 (나)에 대입하면,

$-2a_1+6=a_1+4$

$-3a_1=-2$

$a_1=\frac{2}{3}$

이 값은 가정한 $0\le a_1<3$ 조건을 만족하므로 올바른 해입니다.

(2) $a_2\ge 0$인 경우

$a_1-3\ge 0$이므로 $a_1\ge 3$입니다.

$a_2\ge 0$이므로 조건 (가)의 두 번째 식을 적용합니다.

$a_3=a_2-3=(a_1-3)-3=a_1-6$

조건 (나)에 대입하면,

$a_1-6=a_1+4$

$-6=4$

이는 모순이므로, 이 경우에는 해가 존재하지 않습니다.

[함정경고] $a_1$의 값을 구한 후에는 반드시 처음에 나눈 범위(조건)에 속하는지 확인해야 합니다. 범위를 벗어나는 값은 해가 될 수 없습니다.

step3. 모든 $a_1$의 값의 합 계산

가능한 $a_1$의 값은 $-\frac{7}{3}$과 $\frac{2}{3}$입니다.

따라서 모든 $a_1$의 값의 합은

$-\frac{7}{3}+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$

정답은 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. $a_1<0$인 경우

$a_2=-2a_1>0$

$a_3=a_2-3=-2a_1-3$

$-2a_1-3=a_1+4$   --- (조건 (나)에 대입)

$-3a_1=7\Rightarrow a_1=-\frac{7}{3}$   --- 조건 만족

step2. $a_1\ge 0$인 경우

$a_2=a_1-3$

(1) $a_2<0$ ($0\le a_1<3$)인 경우

$a_3=-2a_2=-2(a_1-3)=-2a_1+6$

$-2a_1+6=a_1+4$

$-3a_1=-2\Rightarrow a_1=\frac{2}{3}$   --- 조건 만족

(2) $a_2\ge 0$ ($a_1\ge 3$)인 경우

$a_3=a_2-3=a_1-6$

$a_1-6=a_1+4\Rightarrow -6=4$   --- 모순

step3. 합 계산

$-\frac{7}{3}+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$

$\therefore ④$

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