2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 13번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 13번
문제의 분류	고등학교 (함수의 연속과 평균변화율)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

13. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(28)$의 값은? [4점] (가) $0\le x\le 12$인 모든 실수 $x$에 대하여 $(\sqrt{2x+1}-1)\times f(x)=ax$ 이다. (단, $a$는 상수이다.) (나) 모든 실수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $k$에서 $k+12$까지 변할 때의 평균변화율은 $\frac{1}{2}$이다. ① 16 ② 18 ③ 20 ④ 22 ⑤ 24

1. 문제의 요지

이 문제는 함수의 연속성을 이용하여 미정계수를 구하고, 평균변화율의 정의를 통해 주기적 성질을 파악하여 특정 함숫값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
- (가) $0\le x\le 12$인 모든 실수 $x$에 대하여 $(\sqrt{2x+1}-1)\times f(x)=ax$ 이다. (단, $a$는 상수)
- (나) 모든 실수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $k$에서 $k+12$까지 변할 때의 평균변화율은 $\frac{1}{2}$이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 함수의 연속성을 이용하여 미정계수를 구하고, 평균변화율 조건을 통해 함숫값의 관계식을 찾아 특정 함숫값을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)와 함수의 연속성을 이용하여 $f(0)$과 $f(12)$를 $a$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 조건 (나)의 평균변화율을 이용하여 $f(k+12)$와 $f(k)$의 관계식을 세우고, 이를 통해 상수 $a$의 값을 구합니다.

step3. 구한 관계식을 이용하여 $f(28)$을 $f(4)$에 대한 식으로 변환하고, $f(4)$의 값을 계산하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 함수의 연속: 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속이면 ${lim}_{x\to a}f(x)=f(a)$가 성립합니다.

- 평균변화율: 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $a$에서 $b$까지 변할 때의 평균변화율은 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 함수의 연속성을 이용하여 극한값으로 함숫값을 구하고, 평균변화율의 정의를 수식으로 나타내어 함숫값 사이의 관계를 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 조건 (가)와 함수의 연속성을 이용하여 $f(0)$과 $f(12)$를 $a$에 대한 식으로 나타냅니다.

조건 (가)에 의해 $0\le x\le 12$일 때, $(\sqrt{2x+1}-1)f(x)=ax$ 입니다.

$x\ne 0$일 때, 양변을 $\sqrt{2x+1}-1$로 나누면

$f(x)=\frac{ax}{\sqrt{2x+1}-1}$ 입니다.

함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x=0$에서도 연속입니다. 따라서 $f(0)={lim}_{x\to 0}f(x)$ 가 성립합니다.

${lim}_{x\to 0}f(x)={lim}_{x\to 0}\frac{ax}{\sqrt{2x+1}-1}$

분모와 분자에 $\sqrt{2x+1}+1$을 곱하여 유리화합니다.

$={lim}_{x\to 0}\frac{ax(\sqrt{2x+1}+1)}{(\sqrt{2x+1}-1)(\sqrt{2x+1}+1)}$

$={lim}_{x\to 0}\frac{ax(\sqrt{2x+1}+1)}{(2x+1)-1}$

$={lim}_{x\to 0}\frac{ax(\sqrt{2x+1}+1)}{2x}$

$={lim}_{x\to 0}\frac{a(\sqrt{2x+1}+1)}{2}$

$x=0$을 대입하면,

$=\frac{a(\sqrt{1}+1)}{2}=\frac{2a}{2}=a$

따라서 $f(0)=a$ 입니다.

또한, $x=12$일 때 $f(12)$의 값을 구해보면,

$f(12)=\frac{12a}{\sqrt{2\times 12+1}-1}=\frac{12a}{\sqrt{25}-1}=\frac{12a}{5-1}=\frac{12a}{4}=3a$ 입니다.

step2. 조건 (나)의 평균변화율을 이용하여 $f(k+12)$와 $f(k)$의 관계식을 세우고, 이를 통해 상수 $a$의 값을 구합니다.

조건 (나)에서 모든 실수 $k$에 대하여 $x$가 $k$에서 $k+12$까지 변할 때의 평균변화율이 $\frac{1}{2}$이므로,

$\frac{f(k+12)-f(k)}{(k+12)-k}=\frac{1}{2}$

$\frac{f(k+12)-f(k)}{12}=\frac{1}{2}$

양변에 12를 곱하면,

$f(k+12)-f(k)=6$

즉, $f(k+12)=f(k)+6$ 입니다.

이 식에 $k=0$을 대입하면,

$f(12)=f(0)+6$ 이 성립합니다.

앞서 구한 $f(0)=a$ 와 $f(12)=3a$ 를 대입하면,

$3a=a+6$

$2a=6$

$a=3$ 입니다.

[함정경고] 평균변화율 식을 세울 때 분모를 단순히 $k+12$로 착각하기 쉽습니다. 분모는 $x$의 변화량인 $(k+12)-k=12$가 되어야 합니다.

step3. 구한 관계식을 이용하여 $f(28)$을 $f(4)$에 대한 식으로 변환하고, $f(4)$의 값을 계산하여 최종 정답을 도출합니다.

우리가 구해야 할 값은 $f(28)$ 입니다.

관계식 $f(k+12)=f(k)+6$ 을 반복하여 적용합니다.

$f(28)=f(16+12)=f(16)+6$

$f(16)=f(4+12)=f(4)+6$

따라서 $f(28)=(f(4)+6)+6=f(4)+12$ 입니다.

이제 $f(4)$의 값을 구합니다. $a=3$ 이므로 $0\le x\le 12$ 에서 $f(x)=\frac{3x}{\sqrt{2x+1}-1}$ 입니다.

$x=4$ 를 대입하면,

$f(4)=\frac{3\times 4}{\sqrt{2\times 4+1}-1}=\frac{12}{\sqrt{9}-1}=\frac{12}{3-1}=\frac{12}{2}=6$ 입니다.

최종적으로,

$f(28)=f(4)+12=6+12=18$ 입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. $f(0)$과 $f(12)$ 계산

$x\ne 0$일 때, $f(x)=\frac{ax}{\sqrt{2x+1}-1}$

$f(0)={lim}_{x\to 0}\frac{ax}{\sqrt{2x+1}-1}={lim}_{x\to 0}\frac{ax(\sqrt{2x+1}+1)}{2x}=a$   --- (연속이므로 극한값과 함숫값 일치)

$f(12)=\frac{12a}{\sqrt{25}-1}=\frac{12a}{4}=3a$

step2. 평균변화율을 이용한 $a$ 값 계산

$\frac{f(k+12)-f(k)}{12}=\frac{1}{2}$

$f(k+12)=f(k)+6$

$k=0$ 대입: $f(12)=f(0)+6$

$3a=a+6⟹a=3$

step3. $f(28)$ 계산

$f(28)=f(16)+6=f(4)+12$

$f(4)=\frac{3\times 4}{\sqrt{9}-1}=\frac{12}{2}=6$

\therefore $f(28)=6+12=18$

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